Расчет погрешности измерений

Измерения
называются прямыми, если значения
величин определяются приборами
непосредственно (например, измерение
длины линейкой, определение времени
секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными, если значение измеряемой
величины определяется посредством
прямых измерений других величин, которые
связаны с измеряемой определенной
зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная
и относительная погрешность.
Пусть
проведеноNизмерений
одной и той же величиныxв отсутствии систематической погрешности.
Отдельные результаты измерений имеют
вид:x1,x2,
…,xN.
В качестве наилучшего выбирается среднее
значение измеренной величины:

.
(1)

Абсолютной
погрешностью
единичного измерения
называется разность вида:

.

Среднее
значение абсолютной погрешности Nединичных измерений:


(2)

называется
средней абсолютной погрешностью.

Относительной
погрешностью
называется отношение
средней абсолютной погрешности к
среднему значению измеряемой величины:

.
(3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

  1. Если
    нет особых указаний, погрешность прибора
    равна половине его цены деления (линейка,
    мензурка).

  2. Погрешность
    приборов, снабженных нониусом, равна
    цене деления нониуса (микрометр – 0,01
    мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

  3. Погрешность
    табличных величин равна половине
    единицы последнего разряда (пять единиц
    следующего порядка за последней значащей
    цифрой).

  4. Погрешность
    электроизмерительных приборов
    вычисляется согласно классу точности
    С,
    указанному на шкале прибора:

Например:
и,

где Umax
и Imax
– предел измерения прибора.

  1. Погрешность
    приборов с цифровой индикацией равна
    единице последнего разряда индикации.

После оценки
случайной и приборной погрешностей в
расчет принимается та, значение которой
больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство
измерений являются косвенными. В этом
случае искомая величина Х является
функцией нескольких переменных а,
b,
c,
значения которых можно найти прямыми
измерениями: Х = f(a,b,c…).

Среднее арифметическое
результата косвенных измерений будет
равно:

X
= f(a,b,c…).

Одним из способов
вычисления погрешности является способ
дифференцирования натурального логарифма
функции Х = f(a,b,c…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c+d).

Дифференциал этого
выражения имеет вид:

.

Применительно к
вычислению приближенных значений его
можно записать для относительной
погрешности в виде:

 =
.
(4)

Абсолютная
погрешность при этом рассчитывается
по формуле:

Х = Х(5)

Таким
образом, расчет погрешностей и вычисление
результата при косвенных измерениях
производят в следующем порядке:

1)
Проводят измерения всех величин, входящих
в исходную формулу для вычисления
конечного результата.

2)
Вычисляют средние арифметические
значения каждой измеряемой величины и
их абсолютные погрешности.

3)
Подставляют в исходную формулу средние
значения всех измеренных величин и
вычисляют среднее значение искомой
величины:

X
= f(a,b,c…).

4)
Логарифмируют исходную формулу Х =
f(a,b,c…)
и записывают выражение для относительной
погрешности в виде формулы (4).

5)
Рассчитывают относительную погрешность

=
.

6) Рассчитывают
абсолютную погрешность результата по
формуле (5).

7) Окончательный
результат записывают в виде:

Х
= ХсрХ

 =
…%

Абсолютные
и относительные погрешности простейших
функций приведены в таблице:

Функция

Абсолютная

погрешность

Относительная

погрешность

a+b

a+b

a-b

a+b

ab

ab+ba

sin a

cos a

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Вычисление погрешностей измерений

Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.

Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.

Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.

Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.

Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.

Таблица 1

Средства измерений Диапазон измерений Абсолютная инструментальная погрешность
Линейки:
металлические
деревянные
пластмассовые

150, 300, 500 мм

400, 500, 750 мм
200, 250, 300 мм

0,1 мм

0,5 мм
1 мм
Лента измерительная 150 см 0,5 см
Мензурки 2-го класса 100, 200, 250 см3 5 см3
Амперметр школьный 2 А 0,05 А
Миллиамперметр от 0 до Imax 4 % максимального предела измерений Imax
Вольтметр школьный 6 В 0,15 В
Термометр лабораторный 100 °С 1 °С
Барометр-анероид 720–780 мм рт. ст. 3 мм рт. ст.
Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм 155, 250, 350 мм 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса
Микрометры с ценой деления 0,01 мм 0–25, 25–50, 50–75 мм 0,004 мм

Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.

Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:

x equals x subscript изм plus-or-minus increment x.

Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

straight epsilon subscript x equals fraction numerator increment x over denominator x subscript изм end fraction times 100 percent sign.

Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.

Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.

Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вид функции y Абсолютная погрешность Δy Относительная погрешность fraction numerator bold increment bold y over denominator bold y end fraction
x1 + x2 Δx1 + Δx2 fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 plus x subscript 2 close vertical bar end fraction
x1 − x2 Δx1 + Δx2 fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 minus x subscript 2 close vertical bar end fraction
Cx CΔx fraction numerator increment x over denominator x end fraction
x1x2 |x1| Δx2 + |x2| Δx1 fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction
x subscript 1 over x subscript 2 fraction numerator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar increment x subscript 2 plus open vertical bar x subscript 2 close vertical bar increment x subscript 1 over denominator x subscript 2 superscript 2 end fraction fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction
xn |n||x|n−1Δx open vertical bar n close vertical bar fraction numerator increment x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction
lnx fraction numerator increment x over denominator x end fraction fraction numerator increment x over denominator x open vertical bar ln x close vertical bar end fraction
sinx |cosx| Δx fraction numerator increment x over denominator open vertical bar tg x close vertical bar end fraction
cosx |sinx| Δx |tgx| Δx
tgx fraction numerator increment x over denominator cos squared x end fraction fraction numerator 2 increment x over denominator open vertical bar sin 2 x close vertical bar end fraction

Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

  1. Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
  2. Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась  погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности
Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому  значению.

Формула относительной погрешности
Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности
Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности
Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения. 

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

  • Знайте свою аудиторию.
    Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
  • Разделите аудиторию на группы.
    Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
  • Увеличьте размер выборки.
    Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть  или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

  • Предварительно протестируйте.
    Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
  • Проводите выборку случайным образом.
    Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
  • Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
    Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
  • Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
    Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок  не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *