ВВЕДЕНИЕ

Радиотехнические системы
относятся к классу информационно-управляющих технических систем, осуществляющих
извлечение, передачу или разрушение информации с помощью радиоволн.

 Отличительный признак радиосистемы – наличие радиоканала (одного
или нескольких), состоящего из источника радиоволн, являющихся носителем информации,
среды, в которой распространяются радиоволны, и приемника, извлекающего
информацию путем соответствующей обработки радиоволн, достигающих его антенны.
Радиоволны, несущие ту или иную информацию, называются радиосигналом. Таким
образом, характерным признаком радиосистемы является использование радиосигнала
в качестве носителя информации.

Назначение информации – один
из признаков классификации радиосистем. По этому признаку радиосистемы можно
подразделить на системы передачи, извлечения и разрушения информации  (радиопротиводействия), а также системы
радиоуправления.

К системам
извлечения информации
относятся радиолокационные и радионавигационные
системы, системы радиоастрономии, радионаблюдения поверхности Земли или других
планет, ради о разведки радиотехнических средств противника.

Системы
разрушения информации
(радиопротиводействия) предназначены для создания условий, в которых
работа радиосистем противника становится невозможной.

Системы
радиоуправления
служат для управления работой различных объектов с помощью радиосигналов.

По виду применяемых сигналов различают непрерывные,
импульсные и цифровые радиосистемы. В непрерывных системах информация
отображается изменением параметров (амплитуды, частоты, фазы) непрерывного,
обычно гармонического, сигнала. В импульсных системах сигнал представляет собой
последовательность радиоимпульсов, в которой информацию могут нести как
изменяющиеся параметры отдельных импульсов (амплитуда, частота, фаза, длительность),
так и всей последовательности (число импульсов в последовательности, интервал
между ними).

В цифровых системах
передаваемый сигнал предварительно квантуется по времени и уровню. Каждому
уровню соответствует кодовая группа импульсов, которые и модулируют несущее
колебание. Цифровые системы – легко сопрягаются с ЭВМ, осуществляющими
обработку и запоминание информации, воспроизводимой затем устройством отображения.

Для создания радиосистем
различных назначений используется практически весь диапазон радиоволн от мириаметровых
(
l= 10 –: 100 км) до миллиметровых (l =1 –: 10 мм); лазерные системы, тесно
примыкающие по принципу действия и назначению к радиотехническим, работают в
инфракрасном и видимом диапазонах электромагнитных волн. Таким образом,
применяется почти весь спектр электромагнитных колебаний.

 Следует подчеркнуть, что использование того или иного диапазона
радиочастот для систем различных назначений регламентировано международной комиссией
распределения радиочастот (МКРР), так же как и ширина спектра частот,
отводимого системе того или иного типа. Эти ограничения влияют на выбор вида
радиосигнала и построение радиосистемы, и в конечном счете сказываются на ее
тактико-технических характеристиках.

При создании системы стремятся получить наилучшие характеристики для
определенных условий ее работы.

Лекция 1

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Физические
явления, колебания, процессы, осуществляющие перенос информации, называют сигналами, и так как в радиотехнике сообщения
передаются посредством радиоволн, т. е. электромагнитного поля, то за ним и
следовало бы закрепить наименование «сигнал».
Поскольку поле математически описывается скалярной (напряженностью) или векторной
(при учете поляризационных эффектов) функцией времени и пространственных
координат, сигнал в РТС является пространственно-временным, задаваемым
зависимостью
S (t, г), в которой г – радиус-вектор рассматриваемой точки
трехмерного пространства.

Сигналы можно разделить на детерминированные[M2] и случайные[M3].

Случайные процессы
подчиняются статистическим закономерностям, для их описания вводят
характеристики случайных процессов.

1.    
Закон
распределения вероятностей

Вероятность того, что
величина
x(t1) при
измерении попадет в интервал (
a,b),
где
p(x1,t1)
дифференциальный закон распределения случайной величины х.

2.     Среднее
значение  (математическое ожидание)

3. Среднеквадратичное
значение

3.    
Корреляционная
функция

Помехи, упоминавшиеся ранее,
есть не что иное, как некоторое вредное поле х (t, г), взаимодействующее с
сигналом S (
t, г), продуктом чего оказывается
результирующее поле у (
t, г) = F[S(t, г), х (t,r)], где F[.,.]оператор,
описывающий закон комбинирования сигнала и помехи
(S (t, г) и х (t, г) могут складываться,
скалярно или векторно перемножаться и т. д.). Наблюдатель, т. е. приемная сторона, воспринимает именно
результирующее поле у (
t, г).

В силу своей
недетерминированности, непредсказуемости помеха разрушает однозначную связь
поля, наблюдаемого в данной области пространства, с переносимым им сообщением,
так что у приемной стороны могут возникать сомнения в достоверности получаемых
ею сведений.

Статистическая теория РТС как раз и призвана
вооружить специалиста умением строить систему так, чтобы, используя имеющиеся
средства, максимизировать помехоустойчивость РТС, в наибольшей степени защитить
обрабатываемую информацию от искажающего влияния помех.

Таким образом ,под сигналом
далее будем понимать функцию времени, в которую тем или иным способом «вложено»
передаваемое сообщение. Приемной стороне (наблюдателю) сигнал доступен лишь в
смеси с помехой, т. е. в виде колебания (1.1).

y(t)=F[
S(t), x (t) ]                                        
(1.1)

Важнейшая задача теории –
научить наблюдателя оптимально, т. е. с
наивысшей достоверностью, извлекать информацию, вложенную в сигнал, содержащийся
в у(
t).

Под извлечением информации
понимают такие процедуры, как обнаружение, оценка параметров, фильтрация
и т. д., однако все они в конечном счете сводятся к различению сигналов, т. е. к установлению того, какой из
возможных сигналов присутствует в у (
t).

Выполнив различение, наблюдатель, осведомленный
заранее об алгоритме «вложения» сообщения в сигнал, т. е. о законе соответствия
сигналов сообщениям, узнает и само сообщение.

2.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАЗЛИЧЕНИЯ

СИГНАЛОВ.

Несмотря на многообразие  целевых назначений, видов и принципов работы
современных радиоэлектронных систем , можно выделить целый ряд операций,
поддающихся унифицированию и в достаточной мере абстрактному исследованию, не
опирающемуся на специфику той или иной системы, продуктивному для многих
конкретных приложений. К числу таких операций процедуры обнаружения и
различения сигналов.

Под обнаружением сигнала в
радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания у (
t), завершающийся вынесением
решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую
и называют сигналом.

Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания у (t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов,
принадлежащих указанному заранее множеству
S= {S0 (t), S1, (t), …, SM-1, (t)}, присутствует в у(t).

Нетрудно видеть, что
обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из
которых равен нулю на всем интервале наблюдения. Характерными практическими примерами
выполнения указанных действий являются обнаружение отраженных от целей сигналов
в радионавигации, гидролокации, обнаружение сигналов опорных маяков в
радионавигации, различение М передаваемых
посылок в системах цифровой связи и т. д.

Вероятностный характер наблюдаемого колебания у(t) приводит к тому, что любой
различитель или обнаружитель, сколь бы тщательно он ни был спроектирован, не
застрахован от ошибок. Таким образом, любой различитель[M4][1]
время от времени выносит решения, не соответствующие действительности, считая,
что в наблюдаемом колебании присутствует
k-й сигнал, тогда как в
действительности в у (t) содержится
i
сигнал. Разрабатывая тот или иной различитель, следует стремиться так выбрать
стратегию его работы, чтобы вредные последствия, связанные с указанными
ошибками, были минимальными.

Теория проверки гипотез служит методологическим
базисом всех исследований по обнаружению и
различению сигналов.

 Незначительно адаптируя язык теории статистических решений к
форме, более привычной для радиоспециалистов, можно так сформулировать задачу
проверки М гипотез. Пусть наблюдаемое
колебание у (
t) является реализацией случайного процесса, который имеет распределение
W(t) т. е. n-мерную ПВ W(у) [либо функционал ПВ W(у(t))], принадлежащее
одному из М непересекающихся классов
W (Wi∩Wk=Ø, i≠k, i; k=0, 1,
…, М – 1). Необходимо, пронаблюдав реализацию у (t), решить, какому из классов принадлежит W
y,.
Предположение о том, что
Wy Є Wi, называют гипотезой Н1: Wy Є Wi.

Решения, являющиеся
результатом проверки гипотез, будем далее обозначать Н
1, где i Є (0, 1,
…, М-
1)номер гипотезы, истинность
которой декларируется принятым решением.

Частный случай М=2 называют двухальтернативным или проверкой гипотезы Н0 относительно альтернативы Н1. Если М>2, то проверку гипотез называют
м
yогоальтернанивной.. Параллели между проверкой
гипотез и различением сигналов в радиотехнике
очевидны, если учесть, что, согласно (1.1), анализируемое различителем колебание
у(t) является результатом взаимодействия присутствующего в нем сигнала
S (t) с мешающим
случайным процессом (помехой, шумом) х (
t): у (t) = F [S(t), х (t)]. Гипотезы Нi , в
терминах различения сигналов трактуются как предположения о наличии
i-го (и только i-го) сигнала в у (t) . При этом решения Hi, одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения
о том, что в принятом колебании содержится именно
i-й сигнал. В частном случае
обнаружения гипотезы Н
0 и Н1, выражают предположения об отсутствии
и наличии сигнала в у (t);
соответственно решения
H0  и H1, означают утверждение, что сигнала в у (t) нет или сигнал в у (t) есть.

Лекция 2

2.1 Статистические критерии
различения и обнаружения сигналов.

Для того чтобы
задача поиска, или синтеза, оптимальных правил различения
сигналов обрела математическую содержательность, необходимо прежде всего
задаться некоторым формальным показателем (критерием)
качества различения, т. е. количественной мерой, суммирующей ущерб,
наносимый ошибочными решениями.

В тех задачах, которые
удается свести к проверке простых гипотез, продуктивным оказывается критерий минимума среднего риска, называемый также критерием Байеса. Для
того чтобы наиболее наглядно ввести связанную с ним систему понятий и терминов,
обратимся к конкретному примеру различения М
детерминироваиных сигналов
S0 (t), S1 (t), …, SM-1, (t) на фоне помех с
полностью заданным статистическим описанием, т. е. с точно известной ПВ любой
размерности
n или с точно известным
функционалом ПВ. В рамках такой модели различения ПВ любой размерности или
функционал ПВ наблюдаемого колебания у (t)
при условии, что в у (t) входит
сигнал с номером
i, – некоторая вполне определенная функция, вид
которой зависит лишь от номера i. При этом имеется М классов, содержащих по одному распределению, т. е. различение
сигналов состоит в проверке простых гипотез.

Предположим, что известна
вероятность р
i присутствия в у(t) сигнала Si,(t). Эту вероятность называют априорной (доопытной), поскольку она отражает сведения, которыми
располагает наблюдатель, еще не имея в распоряжении реализации у (
t), и показывает, насколько
часто при длительной эксплуатации изучаемой системы можно ожидать появления
Si (t) в у(t). Для систем М-ичной цифровой связи,
например, вероятность р
i характеризует среднюю частоту, с которой Si (t) посылается в канал. Очевидно, вероятность рi можно назвать и априорной вероятностью
истинности Н
i, записав рi = Р (Нi). Ясно также, что рi  подчинены
условию нормировки

рi = 1, ибо события H0, H1,…, HM-1 составляют полную группу несовместных событий.

Предположим, что рi = Р (Hk/Hi) – условная вероятность перепутывания i-го
сигнала с
k-м, т. е. принятия решения Hk
[о присутствии
Sk(t) в у
(
t) ] при условии, что истинна Нi.[в у (t)
содержится S
i (t) ]. Следовательно,
множество вероятностей р
ik при i≠k составляет набор условных вероятностей всех
ошибочных решений. Эти
вероятности для любого фиксированного способа
различения сигналов можно вычислить, так как помехи считаются полностью
статистически заданными .

Введем М2 неотрицательных величин Пik,
каждая из которых характеризует риск (потери, ущерб) от перепутывания
i-го
сигнала с
k-м. При этом правильные решения считаются не
наносящими ущерба, так что П
ii = 0.

В каждой отдельной попытке
различения сигналов итог (решение) оказывается случайным событием, а поэтому
случайным будет и значение риска. Очевидно, безусловную вероятность того, что
риск окажется равным П
ik, по теореме умножения
вероятностей можно найти как Р
i)
*Р (Hk/ Нi)
i*рik-поэтому
математическое ожидание риска или средний риск

П = ∑Пik piр ik.                                                                 (2.1.1)

Критерий Байеса,
или минимального среднего риска, предписывает добиваться минимума (2.1
.1).
Различитель, оптимальный по этому критерию (байесовский различитель), при длительной эксплуатации будет наиболее «эконо- мичным»
из всех, поскольку сумма штрафов за ошибки у него окажется наименьшей.

Хотя задание рисков Пik (часто
и априорных вероятностей р,) достаточно произвольно, практическая ценность
критерия Байеса чрезвычайно велика, так как он, обобщая ряд других критериев,
позволяет получить универсальный ответ на вопрос о наилучшей стратегии
различения сигналов. Предположим, например, что, не имея объективных данных для
назначения всех рисков, разработчик стремится лишь к тому, чтобы различитель
как можно реже ошибался, т.
e. чтобы полная вероятность
ошибки


 была минимальной. Нетрудно видеть, что такой
критерий качества, называемый критерием
идеального наблюдателя
или критерием Котельникова, можно рассматривать как частный случай
байесовского, положив в (2.1.1) П
ik= П, i≠k, где
П – произвольная неотрицательная константа. При этом П=ПРош, и минимизация
среднего риска равносильна минимизации (2.1.2).


Представим теперь, что
затруднение вызывает задание не только рисков, но и априорных вероятностей.
Подобная картина типична, например, для радиолокационного обнаружения. Тогда
определить полную вероятность ошибки нельзя, но можно предложить вполне
удовлетворительный критерий качества – критерий
минимума суммы условных вероятностей ошибок

В частном
случае М=2,
S0(t)=0 рассматриваемая задача
переходит в обнаружение детерминированного сигнала
S1 (t) на фоне помех с известным
статистическим описанием. При этом условные вероятности р
01 = Р(H1 / Н0) и р10=Р(H0/Н1) на статистическом языке
называют вероятностями ошибок первого и второго рода. Согласно
терминологии, принятой в радиоэлектронике, эти же величины именуют более
выразительно – вероятности ложной
тревоги
и пропуска (сигнала),
понимая под ложной тревогой факт решения
H1, об обнаружении сигнала при
условии, что он в наблюдаемом колебании у
(
t) не содержится, а под пропуском – объявление H0 о том, что сигнала в у (t) нет
при условии, что в действительности он в у
(t) присутствует. Далее для вероятностей ложной тревоги и пропуска будут
использованы обозначения рлт01
и р по10. Средний
риск при обнаружении П=рлтр0П01пс
(1 – р0) П10, где П01, и П10 – риски,
связан- ные с ложной тревогой и пропуском; р0
априорная вероятность отсутствия
S1 (t) в у (t). Соотношения (2.1.2) и (2. 1.3) в
этом случае можно представить в виде,

Pош=pлтpО +pпс (1p0) и Pошусл = pлт +pпс.

Помимо введенных общих
критериев, не связанных с какими-либо допущениями относительно числа М проверяемых гипотез, при обнаружении
часто применяют крит
eрий Неймана – Пирсона, предписывающий добиваться минимума
вероятности пропуска р
gc при ограничении сверху на
вероятность ложной тревоги.


Правила оптимального различения и обнаружения. Попытаемся выяснить,
какой стратегии должен придерживаться байесовский различитель М детерминированных сигналов.

Любая нерандомизированная
(не включающая преднамеренно введенных действий со случайным исходом типа
бросания жребия) процедура различения М сигналов
может интерпретироваться следующим образом. Допустим, что
n-мерное пространство векторов Еn разбито на М (соответственно числу различаемых
сигналов) непересекающихся областей решения
G0,G1,…, GM-1

Тогда принятие решения
различителем сводится к указанию номера области, в которую попал вектор
наблюдения у. Если у
ÎG k то принимается решение Нk о присутствии в у (t) сигнала Sk (t). Возможность такой «геометризации» различения сводит поиски оптимальной
стратегии различителя к отысканию наилучшего разбиения Е
n на области решений.


Для того чтобы найти
оптимальное правило разбиения, подставкм в (2.1) выражения для условных
вероятностей ошибок р
ik= ∫P(у / Нi)dу,
вытекающие из определения областей
G0,G1,…, GM-1 Тогда

Очевидно, «назначение»
конкретной конфигурации областей решения сводится к тому, чтобы, перебрав все
векторы у, расписать их по М областям, включив каждый в одну и
только одну область
Gk,. При этом, как следует из последней
формулы, каждый вектор войдет в одно и только одно слагаемое суммы по
k,
отвечающее той области, за которой он закреплен. Поэтому минимума можно
добиться, если охватить областью G
k, именно те векторы у, для которых подынтегральное
выражение в
k-м интеграле минимально. Следовательно, разбиением Еn на области минимизируюшим П,
будет такое, при котором в
Gk включаются векторы у (и только они), удовлетворяющие
системе М неравенств


 

Если перейти к случаю
непрерывного наблюдения (к пространствам бесконечной размерности), то
n-мерные
ПВ в (2.
1.4) превратятся в функционалы ПВ F(у(t)/Нi),
т. е. область принятия решения
Hk определится
системой М неравенств

 


 


Таким
образом, байесовский- различитель, наблюдая реализацию у(
t), должен установить номер k, для
которого совместно выполнены неравенства (2.
1.5), н принять решение Hk o наличии в у (t) сигнала
с номером
k. Представим это правило в виде, который и далее
будет использоваться для записи алгоритмов различения сигналов:

где символ Нk указывает на решение, принимаемое при одновременном
выполнении всех неравенств в (
1.2.6), Отметим, что величину

        
апостериорный  условный (вычисляемый для данной реализации y(t)) средний
риск.

Поэтому выражение (2.1.6)
подразумевает вычисление для анализируемой реализации у(
t) М значений условного среднего риска П =[у (t),i],
i=
0, 1, …, М – 1, и принятие решения о наличии в у
(
t) сигнала с тем номером k, для которого значение П [у (t), i] минимально.


Рассмотрим важнейшие
частные случаи. Для идеального наблюдателя, минимизирующего (
1.2.2),
следует положить П
ik = П, i≠k.
Тогда выражение (
2.1.6) примет вид


На основании формулы
полной вероятности

 согласно
(2.7), получим


Так как, по теореме
умножения вероятностей,

, то соотношение (2.1.8)
может быть переписано как

Величина Р(Нi/у(t)) определяет апостериорную (обратную, послеопытную) вероятность гипотезы Нi, т. е, вероятность наличия i-го сигнала в у (t) с учетом всех сведений,
которые можно извлечь из наблюдаемой реализации у(
t). Следовательно,
идеальный наблюдатель принимает решение в пользу сигнала, имеющего наибольшую
апостериорную вероятность, т. е. действует по правилу максимума апостериорной вероятности (МАВ).

Если данные об априорных
вероятностях ненадежны и проектировщик предпочел критерий минимума суммы условных
вероятностей ошибок (2.1,3), то соответствующее оптимальное правило различения
можно получить из (2.1.8) при р
i=1/М,i=0, 1, …, М – 1:

W(y(t)/Hk)≥W(y(t)/Hi),  i=0,1,2,…,M-1.

Функционал ПВ W(y(t)/Hi) – условной ПВ, определенной при условии истинности гипотезы Нi [присутствия
Si(t) в у (t) ], – рассматриваемый как функция номера гипотезы i при
фиксированной реализации у (
t),
называют функцией (функционалом) правдоподобия (ФП). Таким образом, стратегия
различителя, минимизирующего (2.
1.3), сводится к использованию
правила максимума правдоподобия (МП),
т. е. к подстановке принятой реализации
у(
t) в выражение для ФП, известное в силу детерминированности сигналов и
статистической определенности помех, и подбору
i, максимизирующего ФП.

В
случае обнаружения детерминированного сигнала (М=2,
S0(t)=0) выражение (2.1.6) можно переписать так:

 


где расстановка
символов
H0 и H1, показывает, выполнение какого из неравенств влечет
за собой принятие соответствующего решения. Правило (2.1
.10)
традиционно представляют в виде

называя отношение l двух значений ФП отношением (коэффициентом) правдоподобия (ОП). Как видно, байесовский
обнаружитель детерминированного сигнала должен для полученной реализации у(
t) вычислить ОП l и сравнить –

его с порогом lп,   зависящим от рисков и
априорных вероятностей отсутствия и наличия сигнала.

Если разработчик
обнаружителя ориентируется на критерий идеального наблюдателя, то в выражении
(2.1
.11) следует положить П01, =П10,
что превратит его в правило МАВ, сделав пороговый уровень равным р0=/(1
– р0). Аналогично, принятие за основу критерия минимума Рошусл= лтпс0110,
р0=1/2) придаст (2.1.11) вид правила МП, для которого
l,=1. Наконец, стратегию
обнаружителя,

оптимального
по Нейману – Пирсону, также можно описать соотношением (2.1.11), если значение
lп  выбрать из условия
поддержания вероятности ложной тревоги не выше заданного уровня.

Как видно, обнаружители,
оптимальные по любому из рассмотренных критериев, должны выполнять одни и те же
действия: вычислять ОП и сравнивать его с порогом. От конкретного критерия
зависит лишь значение порога, и поэтому обнаружитель, наилучший по одному
критерию, трансформируется в оптимальный по другому простым изменением порога
lп,

2.2 Различение
сигналов
cо случайными параметрами

Далеко не всегда наблюдатель
столь подробно априори осведомлен о различаемых сигналах, как это полагалось.
Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и
значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и др.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при
этом уже не являются детерминированными,

поскольку
параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Знание априорной ПВ W i)
случайных параметров различаемых сигналов позволяет трансформировать сложные гипотезы в простые, открывая
тем самым путь к   использованию
байесовского подхода и критериев.


Детерминированные сигналы. При различении М детерминированных сигналов на фоне аддитивного шума гипотеза Нi означает, что у(t)=х(t)+ Si(t), т. е. х(t)=у(t) – Si(t). Поэтому из выражения для
ФП получаем

где
обозначением
Wn(.)
подчеркнуто, что у(
t) – Si(t) подставляют в функционал
ПВ помехи х(
t)=n(t).

Последняя запись позволяет
дать наглядную интерпретацию правила МП (2.1
.9) для данной реализации у(t) принимают решение о
присутствии в ней того из М сигналов,
который наименее уклоняется от у(
t). При этом мерой уклонения
является энергия разности у(
t) и Si(t).

Для дальнейшего использования
ФП удобно представить в форме, следующей из (2.2.
1) после раскрытия скобок под
интегралом:


где Еi=∫Si2 (t)dt  – энергия i-го сигнала; zi=∫ у(t)Si(t)dtкорреляционный интеграл (или просто корреляция) принятой реализации и i-го cигнала;

су=сехр [1/N0
у2(t)dt] –
коэффициент, зависящий от у(
t), но
не от
i, и потому не влияющий на
решения, принимаемые согласно выводам 2.
1 по результатам сравнения
значений соответствующих функций
i (условного среднего риска,
апостериорной вероятности, ФП), вычисленных для конкретной наблюдаемой реализации
у(
t).

Смысл корреляционного
интеграла очевиден: если у(
t) и Si(t) согласно современным
концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном
евклидовом пространстве, то
zi, окажется
их скалярным произведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сходство
у(
t) и  Si(t). Отсюда вытекает следующая
физическая трактовка правила МП применительно к различению М детерминированных сигналов равной энергии
i = Е, i=0, 1, …, М
1): принимают решение о наличии в у(
t) того сигнала, который имеет
наибольшее сходство с у(
t).

В
частном случае обнаружения детерминированного сигнала М=2,
S0(t)=0, z0=0, Е0=0 и, согласно (2.2.1), W(y(t)/H0)=cy. Соответственно  zi= у(t)S1(t)dt,   

Е1= Si2(t)dt  и  W(y(t)/H1)=cyexp((2z-E)/N0)


Подставив эти выражения в (2.2.1),
для ОП получим

где индекс 1 у z  и Е опущен, так как ненулевой сигнал единственный и может быть обозначен
как
S(t).

2.3 Сигналы со случайными
параметрами.


В соответствии с
выводами  2.2 ФП при различении сигналов
со случайными параметрами, априорные распределения которых заданы, может быть
получена усреднением ФП, построенной для детерминированных сигналов. При конкретных
значениях неизвестных параметров
i-го сигнала последний становится детерминированным и, согласно (2.2.1),

где
Е
1= Si2(t,θi)dt  энергия i-го
сигнала с фиксированным и равным
θi, значением вектора
неизвестных параметров
zi= у(t)S1(t)dt – корреляция y(t) с 

сигналом,
имеющим фиксированное и равное
θi , значение вектора
неизвестных параметров. Приходим к выражению для ФП


В частном случае обнаружения ненулевого сигнала, повторив в
приложении к рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, придем к
выражению для ОП


Где z(θ)- корреляция y(t) с обнаруживаемым сигналом S(t, θ ) =S 1 (t, θ1 ) при фиксированном и равном θ ,
значение вектора  его неизвестных
параметров.

Изложенные принципы
обнаружения и различения сигналов в следующей главе будут конкретизированы
применительно к различным моделям сигналов.

1) 
В системе связи
все ошибки одинаково нежелательны.

2) 
Чем реже
передается какое-либо сообщение, тем это сообщение является более неожиданным
для получателя. В этой ситуации считается, что пропустить редкое сообщение
очень не желательно.

В соответствии с этим, 2 алгоритма.
Оказывается, что в первом случае, когда все ошибки одинаково нежелательны,
алгоритм обеспечит минимальную полную вероятность ошибки (минимальная
среднестатистическая вероятность ошибки). Второй алгоритм минимизирует
среднеарифметическую вероятность ошибки.

 

Для таких двух матриц риска
существует 2 названия критериев оптимальности:

1) 
Критерий
минимальной средней вероятности ошибки (дальше узнаем, что для этого же
критерия существуют и другие названия, которые важны для профессионалов;
наиболее распространенное название —  критерий максимальной апостериорной
вероятности (MAP-алгоритм)).

2) 
Штраф за ошибку
тем больше, чем реже сообщение передается. Этот критерий обеспечивает
минимальную среднеарифметическую вероятность ошибки. Профессиональное название:
критерий (правило) максимального правдоподобия (критерий максимума отношения
правдоподобия). (Log-MAP)

Алгоритм оптимального приема по
критерию минимума средней вероятности ошибки (
LogMAP, MAP-алгоритмы)

Итак, при простой матрице рисков
получаем следующее правило:

Вычисление апостериорной вероятности:

 —
априорная вероятность передачи символа

 —
условная плотность вероятности (какова вероятность у, если известно, что
произошло событие ).

Применение статистических критериев при решении задач обнаружения в радиотехнике

Время на прочтение
6 мин

Количество просмотров 27K

Аннотация

В статье рассмотрены основы статистической обработки сигналов и методы их оптимальной обработки* на фоне шума.

Оптимальная обработка

*Под оптимальной обработкой в радиолокации понимают такую операцию над входной реализацией**, приводящей к повышению вероятности правильно обнаружения полезного сигнала, как правило, известной формы, при условии наличия во входной реализации шума в виде случайного процесса с известным или неизвестным законом распределения.

**Процесс наблюдаемый на входе приёмника. Строго говоря, назвать его «Входной сигнал» нельзя, так как в теории связи «Шум» и «Сигнал» — антонимы.

Введение

Основной задачей радиотехники является приём, передача и обработка информации с использованием в качестве переносчика – радиосигнала. Главное требование, предъявляемое к радиотехническим системам – получение своевременной и достоверной информации от источника к потребителю. Однако этому мешает физика принципов работы приёмопередающих устройств и среды распространения сигнала, суть которой заключается во флюктуации физических параметров системы и случайным значением принимаемого сигнала, имеющего шумовую составляющую, также относящуюся к стохастическим процессам.

На текущий момент, самый эффективный способ различения полезных сигналов на фоне шумов и помех является оптимальная обработка, реализуемая, как правило, сравнением принимаемой входной реализации с априорно известной формой полезного сигнала. При этом шумы, которые по своей природе процесс слабокоррелированный, вносят меньший вклад в величину, показывающую степень этого сравнения и называющуюся коэффициентом корреляции. Таким образом, любая задача обнаружения сводится к проверке минимум двух гипотез. В общем случае задача обнаружения состоит из двух гипотез: H_0 – сигнал отсутствует на входе приёмного устройства, H_1 – сигнал присутствует на входе приёмного устройства. Различные алгоритмы обнаружения обеспечивают различную вероятность правильного обнаружения P{d_1/H_1} при различных прочих статистических параметрах. Для сравнения эффективности алгоритмов обнаружения существуют критерии, а так как обрабатываются вероятностные величины, то характер этих критериев статистический. Иными словами критерий можно определить как мерило сравнения.

Статистические критерии обнаружения

Большая часть алгоритмов обнаружения радиолокационных целей включают в себя следующие этапы:

  1. Прием входной реализации
  2. Формирование порога на основе априорной или апостериорной информации.
  3. Оптимальная фильтрация входной реализации
  4. Принятие решения о наличии сигнала/цели

При этом очередность приёма входной реализации и формирования порога зависит непосредственно от типа алгоритма. Алгоритмы, формирующие порог на основе апостериорной информации о принятой входной реализации называют адаптивными [1]. Критерий выбирается эмпирически исходя из типа задачи. Например: при выборе места работы обычно рассматривают два критерия:

  • Максимума отношения заработанных денег к затраченной силе.
  • Максимума удовольствия, получаемого от работы.

К сожалению, современные реалии ставят в приоритет такого специалиста, навыки которого позволяли бы как можно быстрее выпустить продукцию и максимизировать прибыль компании. И зачастую второй критерий либо отбрасывается, либо при анализе ситуации ему присваивается низкий приоритет. Показатель, в данном случае, определяющий приоритет критериев, называется его мощностью.

В математической статистике мощность критерия определяется, как вероятность не совершить ошибку второго рода при принятии решения. В нашем случае ошибка второго рода — это не устроится на оптимальную для себя работу, в общем же случае это ложное принятие за истину события соответствующего гипотезе H_0.

Разумеется, универсальных критериев не существует. Так, например, критерий, имеющий наибольшую мощность, в решении одной задачи, в решении другой может оказаться наихудшим по этому показателю.

Критерий минимального среднего риска (критерий Байеса)


Рис.1 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностями ошибок

Пусть A = 1 соответствует наличию сигнала s(t), а A = 0 – его отсутствию. Множество решений d вырождается в два: d_0 →A=1 and d_1→A=0.
При решении задачи бинарного обнаружения задача эквивалентна проверке гипотезы H_1 о том, что А = 1, при альтернативной гипотезе H_0 о том, что А = 0, а функция потерь переходит в квадратную матрицу:

Таким образом, условный риск при A = 0 равен r_0= C_00 P{d_0/H_0 }+ C_01 P{d_1/H_0 }=C_00 (1-P{d_1/H_0 })+ C_01 P{d_1/H_0 }, а при A = 1 равен r_1= C_10 P{d_0/H_1 }+ C_11 P{d_1/H_1}=C_10 (1-P{d_1/H_1} )+C_11 P{d_1/H_1}, где P{d_1/H_1} – вероятность правильного обнаружения, а P{d_1/H_0 } – вероятность ложной тревоги.

Средний риск определяется как r ̅=qr_0+pr_1, где q – априорная вероятность отсутствия сигнала, а p – априорная вероятность присутствия сигнала и определяет средние потери при ложной тревоге и пропуске цели [2]. Например: при использовании такого критерия для выставления порога срабатывания пожарной сигнализации, стоимость риска при ложной тревоге – вызов пожарной службы, а при пропуске – стоимость вещей в сгоревшей квартире или офисе.

На рис.1 проиллюстрированы графики распределения плотности вероятности при наличии и отсутствии сигнала, также выделены зоны, площадь которых численно равна вероятностям ошибок при принятии решения. Ввиду стохастической природы явлений рассматриваемых в данном примере, распределения имеют ненулевую дисперсию. Согласно критерию минимального среднего риска лучшим алгоритмом обнаружения сигнала будет тот, у которого величина r ̅ будет минимальна [2].

Критерий максимума апостериорной вероятности (максимального правдоподобия)

Этот критерий получается из критерия минимального среднего риска при условии, что потери при совершении ошибки обратно пропорциональны вероятности их совершения C_01=1/P{d_0}, C_10=1/P{d_1}. При этом порог оптимального обнаружителя выставляется таким образом, чтобы минимизировать сумму вероятностей ошибок P_ош=P{d_0/H_1 }+P{d_1/H_0 } (см рис.2).


Рис.2 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностью ошибки

Двухпороговый критерий Вальда

В случаях, когда большую роль играет время наблюдения за процессом, например при наличии нескольких каналов и одного обнаружителя или круговом обзоре РЛС, применяют критерий последовательной проверки гипотез Вальда также известный под названием двухпороговый.


Рис.3 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностью правильного обнаружения и вероятностью ложной тревоги

По этому критерию область определения вероятности делится на три подобласти, разделяемыми двумя порогами, определяемыми вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги (см.рис 3):
Критерий Вальда является оптимальным в смысле минимизации среднего времени наблюдения по большому количеству экспериментов [4]. Так как наиболее предпочтительным для радиолокации является сокращение длительности процедуры обнаружения, современные реалии ведут к всё более активному использованию этого критерия [5].

Критерий Неймана-Пирсона

Большим минусом критериев Байесовского класса является необходимость априорного знания элементов матрицы потерь. Например: при пропуске вражеского бомбардировщика на союзную территорию стоимость рисков не поддается исчислению.

В критерии Неймана-Пирсона фиксируется время обнаружения. Оптимальным будет алгоритм с максимальной вероятностью правильного обнаружения P{d_1/H_1 }, при условии, что вероятность ложной тревоги P{d_1/H_0 } не превышает заданной величины [6].

В виду того, что критерий Неймана-Пирсона не требует знания априорных вероятностей ситуаций A = 1 и A = 0, в радиолокации его используют одним из основных [5].

Заключение

При разработке обнаружителей очень важно осознанно выбирать критерий оптимальности, ведь, как уже упоминалось ранее, каждый критерий имеет максимальную мощность в какой-либо определенной ситуации и применение иных может привести к нежелательным последствиям.

Список использованных источников:

[1] Bulyakulov R.R. The adaptive threshold device // Processing of the 2014 IEEE North West Russia Section Young Researches in Electrical and Electronic Engineering Conference. P.165.
doi: 10.1109/EIConRusNW.2016.7448237
[2] Бакулев, П.А. Радиолокационные системы. Учебник для ВУЗов / П.А. Бакулев; М.: Радиотехника, 2004. – 46 с.
[3] Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич; М.: Энергия, 1969
[4] Богатырев, А.А. Стандартизация статистических методов управления качеством / А. А. Богатырев, Ю. Д. Филиппов; М.: Изд-во стандартов, 1989. – 42 с.
[5] Храменков, А.С. Сопоставительный анализ радиолокационных обнаружителей, основанных на критерии неймана-пирсона и последовательном критерии отношения вероятностей /А.С. Храменков, С.Н. Ярмолик // доклады БГУИР №6(76) Минск, 2013.
[6] Васильев, К.К. Методы обработки сигналов: Учебное пособие / К.К. Васильев; Ульяновск, 2001.

6.2.1. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)

Этот
критерий требует обеспечения минимума
средней вероятности ошибочного приема.

Для двоичной
системы

,

для
mичной
системы

,

где

–условная
вероятность j-ой
ошибки при передаче

i-го
сообщения,

–условная
вероятность любой ошибки при передаче

i-го
сообщения,

Р
безусловная
вероятность любой ошибки.

Вычислим условную
вероятность конкретной ошибки

,

где
nмерная
условная плотность вероятности (при
разложении
вnмерном
евклидовом пространстве по любому
базису), а интеграл, вычисляемый по
векторной переменной
,
очевидно,nкратный.
Таким образом, критерий Котельникова
приобретает вид

,
(6.1)

где
находится
варьированием областей
.

Минимуму средней
вероятности ошибок соответствует
максимум средней вероятности правильного
приема (иная эквивалентная форма записи
критерия Котельникова)

.
(6.2)

Учитывая,
что демодулятор должен реализовать
критерий (6.1) или (6.2), принимая решение
на основе анализа единственной реализации
на интервале
0 – Т,
рассмотрим апостериорную вероятность
вида
,
т.е. вероятность того, что при приеме
сигналапередавалось сообщениеbi
. Очевидно, что максимум средней
вероятности правильного приема будет
достигнут, если всякую реализацию
принятого колебания z(t)
относить к той области
,
для которой апостериорная вероятность
максимальна, т.е. решение в пользупринимается при совместном выполнении
совокупности неравенств

.

Иначе
говоря, критерий Котельникова требует
максимизации апостериорной (обратной)
вероятности и его можно записать в виде

.
(6.3)

Для выполнения
анализа (6.3) воспользуемся известной
формулой Байеса

.

Тогда

,

а выражение (6.3)
принимает вид

(6.4)

(безусловная
плотность вероятности
здесь исключена, т. к. она не зависит отi
и, следовательно, не влияет на решение).

В
развернутом виде критерий (6.4) можно
записать в виде системы из m1
неравенств

,

или

.

Условную
плотность вероятности
,
рассматриваемую при известном после
приема векторекак функцию аргументаbi,
называют функцией
правдоподобия

гипотезы о передаче сообщения bi,
а
отношением
правдоподобия

двух гипотез о передаче сообщений bi
и bj.
С учетом этого критерий Котельникова
можно записать в виде:

если

,
то решение.
(6.5)

Рассмотренный
критерий Котельникова обладает следующими
особенностями:

  1. требует
    знания априорных безусловных вероятностей
    отдельных сообщений
    ;

  2. безразличен
    к виду ошибок
    (все виды ошибок одинаково нежелательны),
    что приводит к росту ошибок при приеме
    менее вероятных сообщений, а они являются
    более информативными.

6.2.2. Критерий максимального правдоподобия

Полагая, что все
передаваемые сообщения равновероятны

,

из (6.5) получим

если

,
то решение.

Удобно
помимо гипотез о передаче сообщений bi
(i
= 1, 2,…, m)
ввести еще одну «нулевую» гипотезу о
том, что никакое сообщение (сигнал) не
передавалось, т. е. принятое колебание
является реализацией только помехи
.
Обозначим отношение правдоподобия

,

тогда правило
решения можно записать в виде

если
,
при всех,
то решение

или

.
(6.6)

Критерий
(6.6) называют критерием максимального
правдоподобия. Он совпадает с критерием
Котельникова при равных вероятностях
передаваемых сообщений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могут иметь разные вероятности появления в сообщении. Поэтому каждая ( -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью осуществления, которая называется априорной вероятностью. Итак, суммируя, можно ввести усреднённую характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним риском

.

Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь, связанных с принятием решения.

Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери назначены обоснованно, то приёмник, обеспечивающий наименьший средний риск будет наиболее выгодным. Критерий минимума среднего риска называют также критерием Байеса.

Иногда потери, связанные с различными ошибками, принимают равными друг другу , , , тогда оптимальный байесовский приёмник обеспечивает минимальную среднюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)

и называется идеальным приемником Котельникова.

Если также принять равными априорные вероятности гипотез , , то критерий Байеса сводится к критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки

.

Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахождении границ областей, разбивающих пространство наблюдений наилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества. Ниже эта задача рассматривается для простейшего случая двух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.

    1. Бинарная задача проверки простых гипотез

Наиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приёмника) решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, что передавался символ «0» (сигнала нет) или символ «1» (сигнал есть). Таким образом, решается задача обнаружения сигнала в наблюдаемом колебании. Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина , которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе – «сигнала нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение при гипотезе – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величину , зависящую от способа обработки (например, если обработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина представляет собой его амплитуду). Значение предполагается известным. Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями распределения вероятности и , изображенными на рис. 6.

Рис. 6. Условные плотности распределения вероятности величины
при простых гипотезах

В данной постановке демодулятор (приёмник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении : очевидно, чем больше наблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, что сигнал в принятом колебании есть. Разумный алгоритм принятия решения в таком случае должен сравнить с некоторым фиксированным значением (порогом) и если больше порога, принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

.

Каким бы ни был порог , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность принять решение о наличии сигнала при его фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением

.

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять решение об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)

.

Анализ рисунка показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог находится, как абсцисса точки пересечения условных плотностей и . Очевидно, при таком выборе порога приёмник является оптимальным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки и принятие решения основывается на сравнении значений функций и при наблюдаемом значении :

;

.

Это правило принятия решения можно переписать также в форме

; .

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значении , поэтому отношение называется отношением правдоподобия и обозначается . Правило называют правилом максимального правдоподобия.

Критерий идеального наблюдателя предполагает учёт априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия приёмник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, то есть наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок первого и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции и , умноженные на соответствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в таком приёмнике можно записать в форме

; .

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде

, ,

при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу

; ,

или

, ,

Итак, во всех случаях оптимальный приёмник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемого значения , зависящего от принятой реализации , вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается с порогом; порог равен для приемника, оптимального в смысле критерия минимума среднего риска, для идеального приёмника Котельникова и 1 для приёмника максимального правдоподобия.

    1. Приём полностью известного сигнала (когерентный
      приём)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности , постоянной в некоторой полосе частот («квазибелый» шум). Полагая, что длительность интервала наблюдения равна , возьмем отсчетов наблюдаемого колебания с шагом , при этом отсчеты шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида “ ”) пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных . Поэтому совместная плотность распределения вероятности взятых отсчетов (выборочных значений) равна в отсутствие сигнала

,

где . Напомним, что для гауссовских случайных величин некоррелированность влечёт независимость.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения , то совместная плотность распределения вероятности выборочных значений

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя , получим

.

Устремляя к нулю ( ), запишем логарифм отношения правдоподобия

.

Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимального правдоподобия, основано на сравнении с нулевым порогом величины

,

где – энергия сигнала. Поскольку энергия сигнала известна, то при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла (случайное в силу случайности реализации ) с порогом, равным .

Правило различения сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимального правдоподобия, основано на сравнении между собой величин , . Решение принимается в пользу того сигнала, для которого эта величина максимальна. Структура оптимального приемника для различения сигналов показана на рис. 7.

Рис. 7. Структура приемника максимального правдоподобия

Первое слагаемое в выражении называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно-корреляционной функции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Устройство выбора максимума УВМ вырабатывает на выходе номер канала, в котором величина максимальна. Приёмник упрощается, когда энергии всех сигналов равны.

Пример 10. В проводных системах связи с амплитудной телеграфией могут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу “1”, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой и длительностью . Тогда корреляционный интеграл имеет вид

,

а порог равен , тогда решающее правило имеет вид

Количественно помехоустойчивость определяется некоторой мерой соответствия принятого сообщения (сигнала) переданному. Эта мера (мера качества решения) из-за случайного характера помех всегда является статистической и определяется потребителем сообщения (степенью чувствительности потребителя к тем или иным искажениям).

Оптимальный приемник (оптимальное правило решения) обеспечивает наилучшее качество решения, то есть обеспечивает минимум искажений переданного сообщения в соответствии с мерой качества, заданной потребителем. Оптимальное значение меры качества, которое достигается приемником в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности приема (или просто критерием качества).

При приеме дискретных сигналов в качестве меры помехоустойчивости обычно используется средний риск Rср, тогда критерием оптимальности является min {Rср};

Rср = Пij P (Si , yj), (2.1)

где P (Si , yj) — совмеcтная вероятность передачи S i и приема yj ;

Пij — функция потерь (риск потребителя) при приеме yj , когда передавался сигнал Si ; при этом i = j соответствует правильному приему (значения Пij =0), i ¹ j — ошибка (значения Пij > 0) ;

m — число передаваемых сигналов.

Приемник, работающий по этому критерию, называется байесовским, а правило решения — байесовским правилом.

Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые критерии при передаче двух сигналов S1(t) и S2(t), так как в технике связи такая задача встречается наиболее часто.

При различении сигналов обязательно возникают ошибки при любой мощности сигнала и помехи, так как из-за случайного характера помех возможны выбросы помехи значительной величины. На рис.2.1 приведен граф переходов в системе связи, когда передаются сигналы S1(t) и S2(t). Если передавался сигнал S1, а принят y1 — это означает, что первый сигнал принят правильно. Если же передавался сигнал S1, а принят у2 — это означает, что при приеме вместо первого сигнала получен второй сигнал — произошла ошибка.

Условные вероятности Р(у1/S1) и Р(у2/S2) есть вероятности правильного приема этих сигналов.

Существует несколько критериев помехоустойчивости при различении сигналов. Эти критерии фактически отличаются правилом решения, которые определяют положение границы подпространств (пунктир на рис.1.2), исходя из конкретных требований потребителя к качеству приема сигналов различного назначения.

1. Критерий минимального среднего риска.

Согласно (2.1) этот критерий для двух сигналов минимизирует средний риск

Rср = {П12Р(S1,y2) + П21Р(S2,y1) = П12Р(S1)Р(y2/S1) + П21Р(S2)Р(y1/S2) . (2.2)

В зависимости от значения функции потерь (в данном случае весовых коэффициентов П12 и П21) этот критерий может применяться в системах связи различного назначения с учетом тех потерь (или убытков), которые являются следствием искажения сигналов S1 и S2.

Например, если сигнал S1 — отсутствие тревоги, а S2 — сигнал тревоги (пожарная или охранная сигнализация), то Р(у2/S1) — это вероятность ложной тревоги, а Р(у1/S2) — вероятность пропуска сигнала тревоги. Если это система противопожарной сигнализации, то в результате ложной тревоги убытки составляют, например, 10 рублей (затраты на ложный выезд), а в результате пропуска тревоги (в результате чего может сгореть важный объект) убытки составляют миллион рублей. В этом случае весовые коэффициенты могут быть соответственно равны П12 =10, П21 = 106. Приемник должен принимать решение таким образом, чтобы получить min{Rср}. Очевидно, для этой цели границу подпространств (рис.1.2) целесообразно удалить от сигнала тревоги S2 за счет увеличения вероятности искажения сигнала S1, при этом уменьшится вероятность пропуска сигнала тревоги; в результате критерий min{Rср} обеспечит минимальные убытки системы противопожарной безопасности.

2. Критерий максимального правдоподобия (критерий МП).

Критерий МП получается из критерия минимального среднего риска, если принять, что П12 = 1/P(S1), П21 = 1/P(S2).

При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, что минимизируется значение

l п = P(y2/S1) + P(y1/S2) . (2.3)

Критерий МП иногда называется критерием минимума потерь информации, так как оптимальное правило решения в этом случае устанавливает границу подпространства (рис.1.2) так, чтобы уменьшить вероятность искажения того сигнала, вероятность передачи которого меньше (следовательно, этот сигнал содержит больше информации).

Критерий МП применяется в системах связи также в тех случаях, когда априорные вероятности Р(S1) и P(S2) неизвестны.

3. Критерий идеального наблюдателя.

Если весовые коэффициенты П12 = П21 =1, то критерий минимального среднего риска минимизирует среднюю вероятность ошибки

pош = P(S1)P(y2/S1) + P(S2)P(y1/S2) (2.4) и называется критерием идеального наблюдателя.

Критерий идеального наблюдателя широко применяется в системах связи, когда искажения любого сигнала одинаково нежелательны и совпадает с критерием МП, если вероятности Р(S1) = P(S2) = 0,5.

4. Критерий Неймана-Пирсона.

В некоторых системах передачи информации (системах радиолокации, некоторых системах сигнализации) имеется необходимость фиксирования (задания) одной из условных вероятностей Р(у1/S2) или Р(у2/S1). При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, чтобы минимизировать ту условную вероятность, которая не задана. Критерий оптимальности, который используется таким приемником называется критерием
Неймана-Пирсона
.

Например, задана вероятность пропуска сигнала S1 , то есть Р(у2/S1) = a.. Тогда критерий Неймана-Пирсона требует минимизации условной вероятности Р(у1/S2), обеспечивая заданное значение a. Вероятность Р(у1/S2) обычно обозначается b, тогда (1-b) = Р(у2/S2) называется качеством решения. Правило решения Неймана-Пирсона обеспечивает (min b) или мах(1- b) при a = const.

Приемник при использовании критерия Неймана-Пирсона строится таким образом, чтобы получить достаточно малую вероятность пропуска cигнала(цели ) Р(у2/S1)=a.. С тем, что при этом может (несмотря на минимизацию b=Р(у1/S2)) оказаться много ложных тревог, приходится мириться. В этом и заключается сущность данного критерия.

Применение статистических критериев при решении задач обнаружения в радиотехнике

Время на прочтение
6 мин

Количество просмотров 28K

Аннотация

В статье рассмотрены основы статистической обработки сигналов и методы их оптимальной обработки* на фоне шума.

Оптимальная обработка

*Под оптимальной обработкой в радиолокации понимают такую операцию над входной реализацией**, приводящей к повышению вероятности правильно обнаружения полезного сигнала, как правило, известной формы, при условии наличия во входной реализации шума в виде случайного процесса с известным или неизвестным законом распределения.

**Процесс наблюдаемый на входе приёмника. Строго говоря, назвать его «Входной сигнал» нельзя, так как в теории связи «Шум» и «Сигнал» — антонимы.

Введение

Основной задачей радиотехники является приём, передача и обработка информации с использованием в качестве переносчика – радиосигнала. Главное требование, предъявляемое к радиотехническим системам – получение своевременной и достоверной информации от источника к потребителю. Однако этому мешает физика принципов работы приёмопередающих устройств и среды распространения сигнала, суть которой заключается во флюктуации физических параметров системы и случайным значением принимаемого сигнала, имеющего шумовую составляющую, также относящуюся к стохастическим процессам.

На текущий момент, самый эффективный способ различения полезных сигналов на фоне шумов и помех является оптимальная обработка, реализуемая, как правило, сравнением принимаемой входной реализации с априорно известной формой полезного сигнала. При этом шумы, которые по своей природе процесс слабокоррелированный, вносят меньший вклад в величину, показывающую степень этого сравнения и называющуюся коэффициентом корреляции. Таким образом, любая задача обнаружения сводится к проверке минимум двух гипотез. В общем случае задача обнаружения состоит из двух гипотез: H_0 – сигнал отсутствует на входе приёмного устройства, H_1 – сигнал присутствует на входе приёмного устройства. Различные алгоритмы обнаружения обеспечивают различную вероятность правильного обнаружения P{d_1/H_1} при различных прочих статистических параметрах. Для сравнения эффективности алгоритмов обнаружения существуют критерии, а так как обрабатываются вероятностные величины, то характер этих критериев статистический. Иными словами критерий можно определить как мерило сравнения.

Статистические критерии обнаружения

Большая часть алгоритмов обнаружения радиолокационных целей включают в себя следующие этапы:

  1. Прием входной реализации
  2. Формирование порога на основе априорной или апостериорной информации.
  3. Оптимальная фильтрация входной реализации
  4. Принятие решения о наличии сигнала/цели

При этом очередность приёма входной реализации и формирования порога зависит непосредственно от типа алгоритма. Алгоритмы, формирующие порог на основе апостериорной информации о принятой входной реализации называют адаптивными [1]. Критерий выбирается эмпирически исходя из типа задачи. Например: при выборе места работы обычно рассматривают два критерия:

  • Максимума отношения заработанных денег к затраченной силе.
  • Максимума удовольствия, получаемого от работы.

К сожалению, современные реалии ставят в приоритет такого специалиста, навыки которого позволяли бы как можно быстрее выпустить продукцию и максимизировать прибыль компании. И зачастую второй критерий либо отбрасывается, либо при анализе ситуации ему присваивается низкий приоритет. Показатель, в данном случае, определяющий приоритет критериев, называется его мощностью.

В математической статистике мощность критерия определяется, как вероятность не совершить ошибку второго рода при принятии решения. В нашем случае ошибка второго рода — это не устроится на оптимальную для себя работу, в общем же случае это ложное принятие за истину события соответствующего гипотезе H_0.

Разумеется, универсальных критериев не существует. Так, например, критерий, имеющий наибольшую мощность, в решении одной задачи, в решении другой может оказаться наихудшим по этому показателю.

Критерий минимального среднего риска (критерий Байеса)


Рис.1 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностями ошибок

Пусть A = 1 соответствует наличию сигнала s(t), а A = 0 – его отсутствию. Множество решений d вырождается в два: d_0 →A=1 and d_1→A=0.
При решении задачи бинарного обнаружения задача эквивалентна проверке гипотезы H_1 о том, что А = 1, при альтернативной гипотезе H_0 о том, что А = 0, а функция потерь переходит в квадратную матрицу:

Таким образом, условный риск при A = 0 равен r_0= C_00 P{d_0/H_0 }+ C_01 P{d_1/H_0 }=C_00 (1-P{d_1/H_0 })+ C_01 P{d_1/H_0 }, а при A = 1 равен r_1= C_10 P{d_0/H_1 }+ C_11 P{d_1/H_1}=C_10 (1-P{d_1/H_1} )+C_11 P{d_1/H_1}, где P{d_1/H_1} – вероятность правильного обнаружения, а P{d_1/H_0 } – вероятность ложной тревоги.

Средний риск определяется как r ̅=qr_0+pr_1, где q – априорная вероятность отсутствия сигнала, а p – априорная вероятность присутствия сигнала и определяет средние потери при ложной тревоге и пропуске цели [2]. Например: при использовании такого критерия для выставления порога срабатывания пожарной сигнализации, стоимость риска при ложной тревоге – вызов пожарной службы, а при пропуске – стоимость вещей в сгоревшей квартире или офисе.

На рис.1 проиллюстрированы графики распределения плотности вероятности при наличии и отсутствии сигнала, также выделены зоны, площадь которых численно равна вероятностям ошибок при принятии решения. Ввиду стохастической природы явлений рассматриваемых в данном примере, распределения имеют ненулевую дисперсию. Согласно критерию минимального среднего риска лучшим алгоритмом обнаружения сигнала будет тот, у которого величина r ̅ будет минимальна [2].

Критерий максимума апостериорной вероятности (максимального правдоподобия)

Этот критерий получается из критерия минимального среднего риска при условии, что потери при совершении ошибки обратно пропорциональны вероятности их совершения C_01=1/P{d_0}, C_10=1/P{d_1}. При этом порог оптимального обнаружителя выставляется таким образом, чтобы минимизировать сумму вероятностей ошибок P_ош=P{d_0/H_1 }+P{d_1/H_0 } (см рис.2).


Рис.2 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностью ошибки

Двухпороговый критерий Вальда

В случаях, когда большую роль играет время наблюдения за процессом, например при наличии нескольких каналов и одного обнаружителя или круговом обзоре РЛС, применяют критерий последовательной проверки гипотез Вальда также известный под названием двухпороговый.


Рис.3 График распределения условной плотности вероятности наличия W(U|A=1) и отсутствия W(U|A=0) с вероятностью правильного обнаружения и вероятностью ложной тревоги

По этому критерию область определения вероятности делится на три подобласти, разделяемыми двумя порогами, определяемыми вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги (см.рис 3):
Критерий Вальда является оптимальным в смысле минимизации среднего времени наблюдения по большому количеству экспериментов [4]. Так как наиболее предпочтительным для радиолокации является сокращение длительности процедуры обнаружения, современные реалии ведут к всё более активному использованию этого критерия [5].

Критерий Неймана-Пирсона

Большим минусом критериев Байесовского класса является необходимость априорного знания элементов матрицы потерь. Например: при пропуске вражеского бомбардировщика на союзную территорию стоимость рисков не поддается исчислению.

В критерии Неймана-Пирсона фиксируется время обнаружения. Оптимальным будет алгоритм с максимальной вероятностью правильного обнаружения P{d_1/H_1 }, при условии, что вероятность ложной тревоги P{d_1/H_0 } не превышает заданной величины [6].

В виду того, что критерий Неймана-Пирсона не требует знания априорных вероятностей ситуаций A = 1 и A = 0, в радиолокации его используют одним из основных [5].

Заключение

При разработке обнаружителей очень важно осознанно выбирать критерий оптимальности, ведь, как уже упоминалось ранее, каждый критерий имеет максимальную мощность в какой-либо определенной ситуации и применение иных может привести к нежелательным последствиям.

Список использованных источников:

[1] Bulyakulov R.R. The adaptive threshold device // Processing of the 2014 IEEE North West Russia Section Young Researches in Electrical and Electronic Engineering Conference. P.165.
doi: 10.1109/EIConRusNW.2016.7448237
[2] Бакулев, П.А. Радиолокационные системы. Учебник для ВУЗов / П.А. Бакулев; М.: Радиотехника, 2004. – 46 с.
[3] Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич; М.: Энергия, 1969
[4] Богатырев, А.А. Стандартизация статистических методов управления качеством / А. А. Богатырев, Ю. Д. Филиппов; М.: Изд-во стандартов, 1989. – 42 с.
[5] Храменков, А.С. Сопоставительный анализ радиолокационных обнаружителей, основанных на критерии неймана-пирсона и последовательном критерии отношения вероятностей /А.С. Храменков, С.Н. Ярмолик // доклады БГУИР №6(76) Минск, 2013.
[6] Васильев, К.К. Методы обработки сигналов: Учебное пособие / К.К. Васильев; Ульяновск, 2001.

Количественно помехоустойчивость определяется некоторой мерой соответствия принятого сообщения (сигнала) переданному. Эта мера (мера качества решения) из-за случайного характера помех всегда является статистической и определяется потребителем сообщения (степенью чувствительности потребителя к тем или иным искажениям).

Оптимальный приемник (оптимальное правило решения) обеспечивает наилучшее качество решения, то есть обеспечивает минимум искажений переданного сообщения в соответствии с мерой качества, заданной потребителем. Оптимальное значение меры качества, которое достигается приемником в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности приема (или просто критерием качества).

При приеме дискретных сигналов в качестве меры помехоустойчивости обычно используется средний риск Rср, тогда критерием оптимальности является min {Rср};

Rср = Пij P (Si , yj), (2.1)

где P (Si , yj) – совмеcтная вероятность передачи S i и приема yj ;

Пij – функция потерь (риск потребителя) при приеме yj , когда передавался сигнал Si ; при этом i = j соответствует правильному приему (значения Пij =0), i ¹ j – ошибка (значения Пij > 0) ;

m – число передаваемых сигналов.

Приемник, работающий по этому критерию, называется байесовским, а правило решения – байесовским правилом.

Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые критерии при передаче двух сигналов S1(t) и S2(t), так как в технике связи такая задача встречается наиболее часто.

При различении сигналов обязательно возникают ошибки при любой мощности сигнала и помехи, так как из-за случайного характера помех возможны выбросы помехи значительной величины. На рис.2.1 приведен граф переходов в системе связи, когда передаются сигналы S1(t) и S2(t). Если передавался сигнал S1, а принят y1 – это означает, что первый сигнал принят правильно. Если же передавался сигнал S1, а принят у2 – это означает, что при приеме вместо первого сигнала получен второй сигнал – произошла ошибка.

Условные вероятности Р(у1/S1) и Р(у2/S2) есть вероятности правильного приема этих сигналов.

Существует несколько критериев помехоустойчивости при различении сигналов. Эти критерии фактически отличаются правилом решения, которые определяют положение границы подпространств (пунктир на рис.1.2), исходя из конкретных требований потребителя к качеству приема сигналов различного назначения.

1. Критерий минимального среднего риска.

Согласно (2.1) этот критерий для двух сигналов минимизирует средний риск

Rср = {П12Р(S1,y2) + П21Р(S2,y1) = П12Р(S1)Р(y2/S1) + П21Р(S2)Р(y1/S2) . (2.2)

В зависимости от значения функции потерь (в данном случае весовых коэффициентов П12 и П21) этот критерий может применяться в системах связи различного назначения с учетом тех потерь (или убытков), которые являются следствием искажения сигналов S1 и S2.

Например, если сигнал S1 – отсутствие тревоги, а S2 – сигнал тревоги (пожарная или охранная сигнализация), то Р(у2/S1) – это вероятность ложной тревоги, а Р(у1/S2) – вероятность пропуска сигнала тревоги. Если это система противопожарной сигнализации, то в результате ложной тревоги убытки составляют, например, 10 рублей (затраты на ложный выезд), а в результате пропуска тревоги (в результате чего может сгореть важный объект) убытки составляют миллион рублей. В этом случае весовые коэффициенты могут быть соответственно равны П12 =10, П21 = 106. Приемник должен принимать решение таким образом, чтобы получить min{Rср}. Очевидно, для этой цели границу подпространств (рис.1.2) целесообразно удалить от сигнала тревоги S2 за счет увеличения вероятности искажения сигнала S1, при этом уменьшится вероятность пропуска сигнала тревоги; в результате критерий min{Rср} обеспечит минимальные убытки системы противопожарной безопасности.

2. Критерий максимального правдоподобия (критерий МП).

Критерий МП получается из критерия минимального среднего риска, если принять, что П12 = 1/P(S1), П21 = 1/P(S2).

При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, что минимизируется значение

l п = P(y2/S1) + P(y1/S2) . (2.3)

Критерий МП иногда называется критерием минимума потерь информации, так как оптимальное правило решения в этом случае устанавливает границу подпространства (рис.1.2) так, чтобы уменьшить вероятность искажения того сигнала, вероятность передачи которого меньше (следовательно, этот сигнал содержит больше информации).

Критерий МП применяется в системах связи также в тех случаях, когда априорные вероятности Р(S1) и P(S2) неизвестны.

3. Критерий идеального наблюдателя.

Если весовые коэффициенты П12 = П21 =1, то критерий минимального среднего риска минимизирует среднюю вероятность ошибки

pош = P(S1)P(y2/S1) + P(S2)P(y1/S2) (2.4) и называется критерием идеального наблюдателя.

Критерий идеального наблюдателя широко применяется в системах связи, когда искажения любого сигнала одинаково нежелательны и совпадает с критерием МП, если вероятности Р(S1) = P(S2) = 0,5.

4. Критерий Неймана-Пирсона.

В некоторых системах передачи информации (системах радиолокации, некоторых системах сигнализации) имеется необходимость фиксирования (задания) одной из условных вероятностей Р(у1/S2) или Р(у2/S1). При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, чтобы минимизировать ту условную вероятность, которая не задана. Критерий оптимальности, который используется таким приемником называется критерием
Неймана-Пирсона
.

Например, задана вероятность пропуска сигнала S1 , то есть Р(у2/S1) = a.. Тогда критерий Неймана-Пирсона требует минимизации условной вероятности Р(у1/S2), обеспечивая заданное значение a. Вероятность Р(у1/S2) обычно обозначается b, тогда (1-b) = Р(у2/S2) называется качеством решения. Правило решения Неймана-Пирсона обеспечивает (min b) или мах(1- b) при a = const.

Приемник при использовании критерия Неймана-Пирсона строится таким образом, чтобы получить достаточно малую вероятность пропуска cигнала(цели ) Р(у2/S1)=a.. С тем, что при этом может (несмотря на минимизацию b=Р(у1/S2)) оказаться много ложных тревог, приходится мириться. В этом и заключается сущность данного критерия.

9.1. Основные понятия и термины

263

9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

9.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ

процессе передачи сообщений в системах Всвязи выполняются различные преобразования, основные из которых показаны на упрощенной структурной

схеме дискретной системы связи (рис. 9.1).

b(t)

bц(t)

u(t)

(t)

bц(t)

(t)

z(t)

ИС

К

М

ЛС

ДМ

ДК

ПС

Рис. 9.1. Упрощенная структурная схема дискретной системы связи

Источник сигнала ИС включает в себя источник сообщений и преобразователь сообщения a(t) в первичный сигнал b(t) . Первич-

ный сигнал подвергается кодированию (экономному и/или помехоустойчивому) в кодере К, после чего сигнал bц (t) , называемый циф-

ровым, поступает в модулятор М (передатчик), вырабатывающий сигнал u(t) , приспособленный по своим характеристикам для пере-

дачи по линии связи ЛС. В линии связи происходит искажение сигнала и его взаимодействие с помехой (t) (в простейшем случае

аддитивное), в результате чего на вход демодулятора ДМ (приемника) поступает наблюдаемое колебание z(t) . Демодулятор вы-

полняет функцию, обратную модуляции, поэтому на его выходе

264 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

должен быть выработан в идеальном случае сигнал bц (t) . Однако вследствие воздействия помех результат демодуляции bц (t) отли-

чается в общем случае от сигнала bц (t) , поэтому результат деко-

дирования b (t) также не совпадает с первичным сигналом b(t) .

В двоичной системе связи с амплитудной телеграфией (АТ) канальный сигнал, соответствующий передаваемому символу 1, представляет собой радиоимпульс с прямоугольной огибающей, а символу 0 соответствует отсутствие сигнала (пауза)111. При частотной (фазовой) телеграфии различные символы передаются сигналами одинаковой формы с несущей частотой (начальной фазой), меняющейся скачком от посылки к посылке. Для простоты здесь полагается, что система является изохронной, т. е. моменты начала и окончания элементарных посылок точно известны.

Для облегчения восприятия в дальнейшем рассматривается идеализированный канал связи без памяти, в котором отсутствуют искажения сигнала, тогда наблюдаемое колебание

z(t)

bц (t)s(t k

)

(t) ,

(9.1)

k

где s(t) – посылка длительности ,

(t)

– помеха. Полагая, что

отсутствует перекрытие посылок по времени (называемое меж-

символьной интерференцией), можно считать, что в каждый мо-

мент времени z(t) s(t, bi ) (t) , где bi – одно из возможных зна-

чений цифрового сигнала112.

Задача демодулятора состоит в том, чтобы по наблюдаемому

колебанию ( ) принять решение ˆц ( ) о переданном сигнале z t b t

bц (t) , такое, чтобы обеспечить максимальную верность. Правило (алгоритм) принятия решения – это закон преобразования z(t) в

ˆц ( ) . Поскольку помеха является случайной, задача построения b t

оптимального (наилучшего) демодулятора представляет собой статистическую задачу и решается на основе методов теории вероятностей и математической статистики (теории статистических решений).

111Такой способ модуляции называют амплитудной телеграфией с пассивной паузой.

112Отметим, что выражение (9.1) представляет частный случай модуляции.

9.1. Основные понятия и термины

265

Перед принятием решения с целью повышения его качества (верности) часто наблюдаемое колебание подвергают дополнительной обработке. Если обработка линейная, то ее результат y(t)

может быть записан в форме

T

T

T

y(t) z( ) (t, )d

s( , bi ) (t, )d

( ) (t, )d ,

0

0

0

где для простоты принято, что колебание наблюдается на интервале времени от 0 до Т, (t, ) – ядро линейного оператора, описы-

вающего устройство обработки (2.30). Видно, что результат обработки представляет собой сумму сигнальной и шумовой составляющих.

В простейшем случае

(t, ) (

t0) ,

тогда сигнальная со-

ставляющая равна величине

T

T

s( , bi ) (t, )d

s( , bi ) (

t0 )d

s(t0, bi ) ,

0

0

т. е. отсчету канального сигнала (посылки) в момент времени t0

(рис. 9.2).

Очевидно, такой способ «обработ-

s(t)

ки» плохо использует посылку: факти-

чески правильность решения зависит не

от энергии, а только от одного мгно-

венного значения сигнала. При этом

t0

t

очень важно, чтобы отсчет был взят

точно в тот момент, когда значение

сигнала достигает максимума. Улуч-

Рис. 9.2. Взятие отсчета

шить эффективность

решения можно

путем «накопления» нескольких ( K )

в момент времени t0

отсчетов,

взятых в i -е моменты време-

K

ti0 ) . Учесть различную

ни, i 1,…,K ; при этом

(t, ) (

i 1

значимость отсчетов для принятия решения можно, введя весовые

K

ti0 ) . Уве-

коэффициенты при

-функциях, тогда

(t, ) hi (

личивая K ,

i 1

в пределе получаем непрерывное ядро оператора об-

работки

(t,

) h(t,

) – весовую функцию линейного фильтра

(см. разд. 2.7). Вообще говоря, оптимальная обработка может быть нелинейной.

266 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Материалом для принятия решения в демодуляторе служит в рассматриваемом случае реализация колебания z(t) на интервале

длительности T. Если бы помеха отсутствовала, то эта реализация совпадала бы с элементарным сигналом (посылкой), который можно считать точкой в гильбертовом пространстве сигналов, определенных на заданном временном интервале. Все возможные в данной системе связи посылки изображаются различными точками, и демодулятор должен вырабатывать свои решения в зависимости от

того, какой именно точке соответствует принятая реализация z(t) .

Реализация помехи, взаимодействуя с посылкой, смещает точку, изображающую принятую реализацию, причем смещение случайно вследствие случайного характера помехи. Если смещения будут значительными, демодулятор может ошибаться. Ошибка является случайным событием, поэтому качество решения можно характеризовать вероятностью ошибки.

Задача синтеза оптимального демодулятора (приемника) ставится следующим образом: нужно найти оптимальный алгоритм обработки и оптимальное правило решения, обеспечивающие мак-

симальную вероятность безошибочного (правильного) решения. Максимум этой вероятности В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а приемник, реализующий этот макси-

мум, – идеальным приемником.

Алгоритм работы приемника состоит в разбиении гильбертова пространства реализаций входного колебания на области, так что решение принимается в соответствии с тем, какой области принадлежит принятая реализация. Количество областей равно количеству различных кодовых символов данной системы связи. Ошибка возникает в том случае, если в результате воздействия помехи реализация попадает в «чужую» область. Оптимальный приемник разбивает пространство реализаций наилучшим образом, так что средняя вероятность ошибки минимальна среди всех возможных

разбиений.

Каждая область соответствует предположению (гипотезе)

о том, что передан был один из возможных сигналов. Поэтому каждая простая гипотеза есть предположение о том, что наблюдае-

мое колебание представляет собой реализацию случайного процесса, описываемого определенной многомерной плотностью распределения вероятностей113 или функционалом плотности распределения.

113Часто гипотезе соответствует не одно распределение, а класс распределений, тогда гипотеза называется сложной.

i 1 j 1

9.1. Основные понятия и термины

267

Пример 9.1. Предположим, что результатом обработки в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией является значение

y , соответствующее окончанию интервала наблюдения. Если в колебании z(t) присутствует только шум, имеющий гауссово рас-

пределение с нулевым математическим ожиданием, то плотность распределения величины y имеет вид

1

y2

w (y)

e

2 2 ;

(9.2)

0

2

если кроме шума на вход приемника поступает сигнал, то результат обработки имеет ненулевое (для определенности – положительное)

среднее a , и плотность распределения величины y имеет вид

1

( y a)2

w1(y)

e

2 2

.

(9.3)

2

Гипотезы, соответствующие выражениям (9.2) и (9.3), являются

простыми. Если среднеквадратическое отклонение

неизвестно,

гипотезы являются сложными. ◄

Рассмотрим систему связи, в которой используются K различных символов. Тогда демодулятор должен различать K различных гипотез. При этом возможны ошибки: может быть принято реше-

ние D j в пользу j -й гипотезы, в то время как справедливой явля-

ется i -я гипотеза. Такая ситуация характеризуется условной вероятностью ошибки pij P{Dj | Hi}. Различные ошибки могут

наносить разный вред, поэтому вводится численная характеристика ij , называемая риском, или потерей. Иногда потери объеди-

няют в квадратную K K -матрицу { ij } , называемую матрицей

потерь, при этом ее главная диагональ обычно содержит нули, что соответствует нулевым потерям при правильных решениях.

Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могут иметь разные вероятности появления в сообщении. Поэтому каж-

дая ( i -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью pi

осуществления, которая называется априорной вероятностью. Итак, суммируя, можно ввести усредненную характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним риском

K K

R pi pij ij .

i 1 j 1 i j

268 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь, связанных с принятием решения.

Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери

назначены обоснованно, то приемник, обеспечивающий наименьший средний риск, будет наиболее выгодным. Критерий минимума

среднего риска называют также критерием Байеса114.

Иногда потери, связанные с различными ошибками, принима-

ют равными друг другу ij ,

ii 0 ,

i 1,…,K , тогда опти-

мальный байесовский приемник обеспечивает минимальную сред-

нюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)

K K

pош pi pij

i 1 j 1 i j

и называется идеальным приемником Котельникова.

Если также принять равными априорные вероятности гипотез

pi 1/ K ,

i 1,…,K , то критерий Байеса сводится к критерию ми-

нимума суммарной условной вероятности ошибки

K K

pош усл pij .

(9.4)

Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахождении границ областей, разбивающих пространство наблюдений наилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества. Ниже эта задача рассматривается для простейшего случая двух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.

9.2.БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ ПРОСТЫХ ГИПОТЕЗ

Наиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приемника) решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, что

передавался символ 0 (сигнала нет) или символ 1 (сигнал есть). Таким образом, решается задача обнаружения сигнала в наблюдае-

114Томас Байес (1702 – 1761) – английский математик, один из основоположников теории вероятностей и математической статистики.

9.2. Бинарная задача проверки простых гипотез

269

мом колебании. Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина y , которая может иметь различное рас-

пределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе H0 – «сигнала

нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение

при гипотезе H1 – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величи-

ну a , зависящую от способа обработки (например, если обработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина a представляет собой его амплитуду). Значение a предполагается известным. Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями рас-

пределения вероятностей w(y | H0)

и w(y | H1) , изображенными на

рис. 9.3.

w(y)

w(y|H )

w(y|H1)

0

y

yп

Рис. 9.3. Условные плотности распределения

вероятностей величины y при простых гипотезах

В данной постановке демодулятор (приемник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении y :

очевидно, чем больше наблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, что сигнал в принятом колебании есть. Приемник в таком случае должен сравнить y с некоторым

фиксированным значением (порогом) yп и если y больше порога,

принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

y yп “1” , y yп “0”.

270 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Каким бы ни был порог yп , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность p01 принять решение о наличии сигнала при его

фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением

p01 w(y | H0 )dy .

yп

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять реше-

ние об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)

yп

p10 w(y | H1)dy .

Анализ рис. 9.3 показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог yп находится как абсцисса

точки пересечения условных плотностей w(y | H0) и w(y | H1) .

Очевидно, при таком выборе порога приемник является оптималь-

ным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки (9.4) и принятие решения основывается на сравнении значе-

ний функций w(y | H0) и w(y | H1) при наблюдаемом значении y :

w y | H0 w y | H1 “1”; w y | H0 w y | H1 “0”.

Это правило принятия решения можно переписать также в форме

w y | H1 1 “1”; w y | H0

w y | H1

1

“0”.

(9.5)

w y | H0

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значе-

нии y , поэтому отношение w y | H1 называется отношением w y | H0

правдоподобия и обозначается ( y) . Правило (9.5) называют пра-

вилом максимального правдоподобия. Заметим, что критерий (9.4) часто называют критерием максимума правдоподобия.

Критерий идеального наблюдателя предполагает учет априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия

9.2. Бинарная задача проверки простых гипотез

271

приемник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки,

т. е. наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок перво-

го и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции w y | H0 и w y | H1 , умноженные на соответствующие априор-

ные вероятности. Правило принятия решения в таком приемнике можно записать в форме

p1w y | H1 1 “1” ; p0w y | H0

p1w y | H1 1 “0”. p0w y | H0

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде

(y)

p0

“1”

,

(y)

p0

“0”

,

p1

p1

при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу

10 p1w y | H1

1 “1” ;

10 p1w y | H1

1 “0”

,

01

p w y | H

0

01

p w y | H

0

0

0

или

p0

p0

(y)

01

“1”

,

(y)

01

“0”.

p1

10

p1

10

Итак, во всех случаях оптимальный приемник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемо-

го значения y , зависящего от принятой реализации z(t) , вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается с

порогом; порог равен

p0

01

для приемника, оптимального в

p1

10

смысле критерия минимума среднего риска, p0 / p1 для идеального

приемника Котельникова и 1 для приемника максимального правдоподобия.

В заключение отметим, что иногда удобнее вычислять не отношение правдоподобия, а его логарифм. В силу монотонности логарифмической функции это не влияет на условные вероятности ошибок, если порог также прологарифмировать.

272 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

9.3.ПРИЕМ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним и спек-

тральной плотностью мощности N0 / 2 , постоянной в некоторой полосе частот F f F («квазибелый» шум). Полагая, что длительность интервала наблюдения равна T , возьмем n отсчетов

наблюдаемого колебания с шагом t

1

T

, при этом отсчеты

2F

n

шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида “sin x / x) пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных t . Поэтому совме-

стная плотность распределения вероятностей взятых отсчетов (выборочных значений) равна в отсутствие сигнала

1

n

1

z2

w(z ,…, z

n

| H

0

)

e

2

2 k 1 k ,

1

n

2

где

2

N0F

N0

/(2

t) . Напомним,

что для гауссовских случай-

ных величин некоррелированность влечет независимость.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения sk s(tk ) , то совместная плотность распределения

вероятностей выборочных значений

1

n

(z

s )2

1

k

w(z1

,…, zn | H1)

e

2

2 k 1

k

.

n

2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *