ГЛАВА 2. Обнаружение и различение сигналов

         В литературе задача оценки сообщения, принадлежащего дискретному конечному ансамблю, называется обычно «задачей различения m сигналов». Дискретная модель хорошо подходит для описания сообщений в цифровых системах передачи информации, таких, как цифровая телеметрическая система или система передачи дискретных сообщений. Объем ансамбля определяется выбранным методом приема (посимвольным, пословным и т.д.). Число m при пословном приеме равно числу кодовых комбинаций (команд); при посимвольном приеме – основанию кода. В частности, при посимвольном приеме двоичного кода m=2.

         Практически работа любой радиосистемы начинается с обнаружения сигнала, при этом по наблюдаемой реализации смеси требуется определить, имеется ли в смеси сигнал или он отсутствует. Если случай отсутствия сигнала можно отождествить с одним значением сообщения х0, а наличия – с другим х1, то задача обнаружения сведется к задаче различения двух значений сообщения и принципиально ничем не будет отличаться от задачи посимвольного приема двоичной информации. Может встретиться ситуация, например, в системе передачи дискретных сообщений, когда на заданном интервале времени может или передаваться сигнал, соответствующий одному из возможных значений сообщения, или ничего не передаваться. Система обработки в этом случае должна вынести решение о том, имеется ли в наблюдаемой смеси сигнал, и если да, то какой именно. В литературе эта задача называется задачей различения m сигналов с обнаружением. Ясно, что и эта задача приводится к общей задачи различения m + 1 сигналов, если в ансамбль сообщений ввести дополнительный («нулевой») сигнал, соответствующий отсутствию сигнала в смеси.

         Таким образом, одной из наиболее важных проблем радиообнаружения является отыскание оптимальных способов выделения сигналов при наличии помех. Оптимальными методами обнаружения называются такие, которые обеспечивают наилучшее выделение сигналов из смеси сигнала с помехой.

         В результате  процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии сигнала в смеси, действующей на входе обнаружителя.

2.1. Обнаружение сигналов как статистическая задача

         Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала u(t) и шума n(t), представляющая собой непрерывный случайный процесс, x(t) = au(t) + n(t); u(t) – полностью известный сигнал, т.е. такой сигнал, единственным неизвестным параметром которого является сообщение а. В простейшем случае при обнаружении сообщения а может принимать два значения: а = а0 = 0 или а = а1 = 1.

Рекомендуемые материалы

         Когда а0 = 0, сигнал на входе обнаружителя отсутствует, когда  а1 = 1, сигнал на входе обнаружителя присутствует. Априорные вероятности присутствия и отсутствия сигнала на входе обнаружителя равны Р(а1) и Р(а0) соответственно.

Обнаружитель анализирует колебание x(t) в течение заранее выбранного (конечного) интервала времени Т и должен на основании анализа воспроизвести сообщение а. Функцию x(t), ограниченную во времени Т, будем называть реализацией колебания.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей ее является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами.

В случае обнаружения сигналов реализация колебания x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале u(t) в смеси) с ограниченным спектром.

Представим x(t) выборочными значениями(x1, …,xn), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом Δt = 1/F, где F – ширина спектра колебания x(t). При этом, объем выборки определится соотношением:

n = T/ΔT = TF                                               (2.1)

На основании анализа выборки x1, …,xn обнаружитель должен оценить параметр а. Очевидно точность оценки зависит от объема выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограниченно, а с увеличением объема выборки при Т = const погрешность оценки не устремляется к нулю. Выборка, у которой n → ∞ при Т = const, называется непрерывной.

Поскольку в задачах обнаружения оценка дискретная (а=0 или1), при конечном объеме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза H1– сигнал во входной смеси есть и гипотеза H0– сигнала нет.

Решение статистической задачи обнаружения сигнала в шуме имеет следующую последовательность:

¨ Выбор и обоснование критериев оптимальности.

¨ Нахождение математического правила решения задачи оптимального обнаружения.

¨ Реализация правила решения с помощью радиотехнических средств (нахождение структурной схемы обнаружителя).

¨ Исследование характеристик оптимального обнаружителя.

¨ Сравнение оптимального и реального обнаружителей.

2.2. Критерии оптимальности обнаружения. Отношение правдоподобия

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех

возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

         Пусть сообщение принимает два значения: а0 = 0 и а1 = 1 с априорными вероятностями Р(а0) и Р(а1) соответственно.

         В результате наблюдения выборки x1, …,xn должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А1 – сигнал есть, А0 – сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два подпространства Х1 и Х0 (соприкасающихся, но непересекающихся) (рис. 2.1.). Если точка М, соответствующая

k-й выборке  (x1, …,xn), попадет в подпространство Х1, – принимается решение А1, в противном случае принимается решение А0.

         При решении задачи возможны ошибки двух видов – ложные тревоги (с вероятностью Рл) и пропуски сигналов (с вероятностью Рп). Ложные тревоги имеют место в случае, когда в отсутствии       сигнала выборка попадает в пространство Х1. Пропуски сигналов имеют место, если при наличии сигнала на входе обнаружителя выборка попадает в Х0.

Из рис. 2.1. следует, что если подпространство Х1 выбрать равным нулю, то Рл = 0, Рп = 1. Если же выбрать равным нулю подпространство Х0,  то Рл = 1, Рп = 0. Таким образом, путем изменения границ подпространств Х1 и Х0 можно получить любое соотношение между вероятностями Рл и Рп. Уменьшая Рл, мы тем самым увеличиваем Рп, и наоборот.

Описание: page%2049

Рис. 2.1. Пространство выборок

Оптимальный обнаружитель должен наилучшим образом по определенному критерию разделить пространство выборок Х на два подпространства: Х1 и Х0. Наиболее распространенными критериями оптимальности обнаружения являются следующие:

1. Критерий минимума среднего риска

                                 (2.2) 

где rл и rп – «весовые» коэффициенты, выбираемые, исходя из значимости каждой ошибки.

Величина называется средним риском.

2. Критерий минимальной «взвешенной» вероятности ошибки

                                             (2.3)

где a и b – весовые коэффициенты.

3. Критерий минимума вероятности полной ошибки (или критерий

идеального наблюдателя, или критерий Зигерта-Котельникова)

                               (2.4)

4. Критерий Неймана – Пирсона

                                             (2.5)

Величиной Рл задаются, исходя из физической постановки задачи. При этом Рп минимизируют.

Если априорные вероятности Р(а0) и Р(а1) неизвестны, что имеет место во многих случаях, то критерием пользоваться невозможно. В радиолокации чаще пользуются критерием Неймана – Пирсона.

Рассмотрим подробнее критерий минимальной «взвешенной»

вероятности ошибки.

Обозначим отношение тогда

                                                (2.6)

где                                                                    (2.7)

                                                                         (2.8)

         Если при наличии сигнала выборка (х1,…,хn) попадет в область Х1, то имеет место правильное обнаружение. Вероятность правильного обнаружения

                                   (2.9)

откуда

                    (2.10)

Из (2.6), (2.8) и (2.9)

           (2.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен обеспечивать максимум интеграла в (2.11)

         (2.12)

Это возможно при положительной подынтегральной разности

> 0;                          (2.13)

т.е.                       > .                            (2.14)

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

                                   (2.15)

определяемую отношением функций правдоподобия и и называемую отношением правдоподобия. Если сравнить с некоторым порогом , то

при   > – сигнал есть,

при   < – сигнала нет.

Все критерии дают оптимальное решение задачи обнаружения, основанное на вычислении отношения правдоподобия и сравнения его с порогом. Отличаются критерии лишь выбором порога.

Для критерия минимума среднего риска

                                         (2.16)

Для критерия минимума взвешенной вероятности ошибки

                                                (2.17)

Для критерия Неймана – Пирсона  задается и минимизируется значение Рп.

2.3. Бинарное обнаружение полностью известного сигнала

Положим, что сигнал u(t) известен точно. Сообщение а принимает два значения: а=а0=0 и а=а1=1, с априорными вероятностями Р(а0) и Р(а1) соответственно.

         Колебание на входе обнаружителя x(t)=au(t)+n(t), n(t) – нормальный белый шум.

         На основании теоремы Котельникова представим колебание x(t) выборкой (х1, …хn) и найдем функцию правдоподобия для выборки в отсутствие сигнала

                              (2.18)

         Функция правдоподобия для выборки в присутствии сигнала

                           (2.19)

         В выражениях (2.18) и (2.19) дисперсии равны в силу физической симметрии и определяются соотношением

                              (2.20)

где N0 – спектральная мощность шума; F=1/Dt.

         Подставим значения s2 в выражения (2.18) и (2.19) и перейдем от суммы к интегралу, устремив при Т=const. Тогда

                 (2.21)

                           (2.22)

Отношение правдоподобия

        (2.23)

где – энергия входного сигнала; – корреляционный интеграл.

Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала имеет следующий вид:

                            (2.24)

Для вынесения решения необходимо сравнить с порогом ограничения .

Если  > – сигнал есть, 

Если <  – сигнала нет.

Реализовать правило решения (2.24) радиотехническими методами, т.е. построить обнаружитель, который вычислял бы  и затем сравнивал с порогом, сложно. Желательно отыскать более простое правило решения.

Поскольку при Е=const зависит только от корреляционного интеграла z(T) и эта зависимость монотонная, то вместо  можно установить более простое правило z(T) и сравнивать с порогом z0.

Если z(T) > z0 – сигнал есть,

Если z(T) < z0  – сигнала нет.

Схема оптимального обнаружителя представлена на рис. 2.2 и состоит  из перемножителя, интегратора и порогового устройства (ПУ).

Описание: page%2053

Рис. 2.2. Схема оптимального обнаружителя

         При вычислении корреляционного интеграла z(T) осуществляются переход от многомерного распределения n выборочных значений напряжения на входе обнаружителя к одномерному распределению напряжения z(T) на его выходе в момент времени Т в результате накопления (суммирования) n выборочных значений в течение длительности выборки Т.

         Если входная выборка представляет собой шум n, то zn(T) определяет напряжение шума на выходе коррелятора. Если выборка – смесь сигнала с шумом, то znc(T) можно рассматривать на выходе как аддитивную смесь, поскольку операции суммирования и интегрирования линейные.

         Переход от суммы выборочных значений при n→∞ и Т=const к интегралу осуществляется на основании теоремы Котельникова. Напряжение шума на выходе коррелятора

                                      (2.25)

Напряжение смеси

                           (2.26)

Эти напряжения есть максимальные значения отклика коррелятора на шум и смесь соответственно. Превышение порога z0 величиной znc(T) есть правильное обнаружение и вероятность превышения и называется вероятностью правильного обнаружения Р0, а превышение порога z0 величиной zn(T) с вероятностью Рл называется ложной тревогой.

Основными показателями обнаружителя являются рабочие характеристики. Каждая характеристика определяет зависимость Р0, Рл и q2(q2-отношение сигнал/шум). На рис. 2.3 даны качественные характеристики.

Описание: page%2054

Рис. 2.3. Качественные характеристики обнаружителя.

 Из анализа этих характеристик следует:

¨ вероятность правильного обнаружения Р0=0 при вероятности ложной тревоги Рл=0.

¨ чем больше отношение сигнал/шум при заданной вероятности ложной тревоги Рл, тем больше вероятность правильного обнаружения Р0.

¨ Если изменять порог z0 от 0 до ∞, то Р0 и Рл будут изменяться от 1 до 0.

По характеристикам можно определить пороговое отношение

сигнал/шум, которое удовлетворяет заданным вероятностям Р0 и Рл. Найденному значению  и заданной вероятности Рл соответствует точка М. Тангенс угла наклона касательной к рабочей характеристике в точке М определяет необходимую величину порога.

.                                                (2.27)

Для расчета и построения характеристик обнаружения необходимо знать закон распределения отклика коррелятора z(T).

         В отсутствии сигнала отклик определяется шумами на входе обнаружителя и может дать ложную тревогу. Величина отклика сравнивается с порогом z0 и вероятностью того, что zn(T) превысит порог z0, называется вероятностью ложной тревоги.

         Закон распределения  zn(T) будет нормальным с нулевым средним значением. Дисперсия, которая определяет мощность шума на выходе коррелятора:

.                                 (2.28)

Сренеквадратичное напряжение шума на выходе коррелятора  Закон распределения отклика коррелятора zn(T) на шум n(t)

                            (2.29)

С увеличением порога ограничения z0 вероятность Рл уменьшается. Аналитически вероятность ложной тревоги определяется выражением

                                           (2.30)

В присутствии на входе обнаружителя отклик коррелятора на смесь сигнала с шумом

                        (2.31)

Первый интеграл выражения (2.31) равен Е и определяет амплитуду напряжения на входе коррелятора, которое численно равно энергии входного сигнала и, следовательно, является максимально возможной величиной. Второй интеграл определяет флюктуацию с нулевым средним значением отклика (напряжение шумов) коррелятора.

Случайная величина z(T) распределена по нормальному закону

                   (2.32)

Распределения Wn(z) и Wnc(z) отличаются средними значениями, дисперсии откликов одинаковы.

Вероятность правильного обнаружения вычисляется по формуле

                                       (2.33)

После преобразований вероятность правильного обнаружения

                               (2.34)

Порог ограничения вычисляется в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Зависимость Р0 от q2 при Рл=const называется характеристикой обнаружения. Для различных значений Рл можно построить семейство характеристик обнаружения. Характеристики обнаружения для полностью известного сигнала изображены на рис. 2.4

Описание: page%2056

Рис. 2.4. Характеристики обнаружения для полностью известного сигнала

2.4. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

         Рассмотрим задачу обнаружения сигнала, у которой фаза высокочастотного колебания изменяется по случайному закону. Плотность распределения фазы равномерна в пределах 0….2π. Отношение правдоподобия в этом случае будет еще и функцией фазы β. Энергия сигнала мало зависит от β, поэтому считаем ее постоянной.

Выражение для корреляционного интеграла через огибающую и фазу запишется в виде:

                (2.35)

где

                                          .

Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала равно:

                            (2.36)

которое является случайной функцией β.

Отношение правдоподобия для сигнала со случайной фазой:

                           (2.37)

Показатель экспоненты является постоянной величиной, – монотонной функцией Z(T), поэтому оптимальным правилом решения задачи обнаружения сигнала является вычисление корреляционного интеграла Z(T). Затем Z(T) сравнивается с порогом Z0.

Если Z(T) > Z0 – сигнал есть, если Z(T) < Z0 – сигнала нет.

Структурная схема обнаружителя, включающая два квадратурных канала, представлена на рис. 2.5  В каждом канале вычисляется корреляционный интеграл z1 (T) и z2(T) соответственно. В квадратичном детекторе (Кв.Д.) осуществляется операция возведения в квадрат; после вычисления величины  производится сравнение с порогом Z0, который устанавливается в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Описание: page%2059

Рис. 2.5. Структурная схема обнаружителя

В качестве опорных напряжений на умножителях используются сдвинутые по фазе на π/2 колебания высокой или промежуточной частоты  и В результате отклик Z2 не зависит от случайной фазы сигнала, так как

Вероятность правильного обнаружения равна:

                           (2.38)

где – относительный порог ограничения.

2.5. Бинарное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Для сигнала  среднеквадритичное значение амплитуды принять равным единице, то выражение для отношения правдоподобия запишется в следующем виде:

                         (2.39)

Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Изменяется только оптимальный порог, который вычисляется по формуле

                              (2.40)

По этой зависимости можно построить характеристики обнаружения

.                                             (2.41)

Особенность характеристик обнаружителя со случайными амплитудой и начальной фазой состоит в том, что с ростом q2 вероятность обнаружения увеличивается сначала быстро, после достижения значений q2=0,5…0,6 это увеличение замедляется, а затем становится очень медленным.

Таким образом, характеристики обнаружения для сигнала со случайной начальной фазой сдвигаются в сторону увеличения отношения сигнал/шум, т.е. для обнаружения сигнала требуется   большое напряжение его на входе, чем для полностью известного сигнала. Для сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой отклик является случайной функцией амплитуды и фазы, поэтому необходимо усреднить отношение правдоподобия и по амплитуде, и по фазе. Характеристики обнаружения сдвигаются еще правее, за исключением участка, где отношение сигнал/шум меньше единицы. Флюктуации амплитуды при q2 < 1 несколько увеличивают вероятность обнаружения.

2.6. Обнаружение сигнала в виде пачки радиоимпульсов

В радиолокации часто применяют сигналы, представляющие собой последовательность из N импульсов, которую для краткости называют пачкой импульсов.

Каждый импульс ui(t) такой пачки полностью характеризуется амплитудой ai, частотой fi, начальной фазой φi, длительностью τi, моментом возникновения ti.

Если зависимость между всеми параметрами импульсов пачки в месте приема полностью известна, то такие импульсы и такая пачка называются когерентными. В противном случае пачка называется некогерентной.

2.6.1. Когерентная пачка импульсов с полностью известными параметрами

Пачка с полностью известными параметрами является частным случаем, полностью известного сигнала и для нее справедливы все расчетные формулы для известного случая. Энергия сигнала u(t):  поэтому для пачки энергия:  где Еi – энергия i-го импульса.

Следовательно, все приведенные выше формулы для вероятностей ошибок будут справедливы и для пачки импульсов, если в них понимать под Е энергию всех импульсов пачки, равную сумме энергий всех N импульсов пачки. Если суммарная энергия пачки импульсов такая же, как и у одиночного импульсного сигнала, ошибки обнаружения не изменяются.

Структурная схема обнаружителя для пачки подобна изображенной на рис. 2.2.  Однако в этом случае на перемножитель нужно подавать «копию» сигнала в виде пачки радиоимпульсов. Максимальное значение отклика коррелятора будет в момент окончания пачки.

2.6.2. Некогерентная пачка радиоимпульсов с независимыми флюктуациями амплитуды

Сигнал в этом случае запишется так:  Оптимальное правило решения будем искать на основании критерия максимума отношения правдоподобия. Для k-го импульса отношение правдоподобия :

                     (2.42)

При независимых флюктуациях амплитуды импульсов отношение правдоподобия для всего сигнала можно представить в виде произведения отношений правдоподобия для импульсов, тогда:

                                         (2.43)

После выполнения операции умножения в показателе экспоненты будет сумма откликов на каждый импульс пачки. Поскольку  монотонно изменяется с изменением этой суммы, то в этом случае нужно вычислять

                                        (2.44)

Так же, как и для одиночного импульса, отклик Z(T) будет пропорционален энергии входного сигнала, т.е. энергии пачки импульсов. Результат сравнивают с порогом Z0, выбранным на основании критерия оптимальности. Схема обнаружителя аналогична данной на рис. 2.5.  Разница будет состоять в том, что копии сигналов, подаваемых на перемножители, в данном случае представляют собой пачки радиоимпульсов.

2.7. Различение детерминированных сигналов на фоне белого гауссовского шума

                   Корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью N0 равна  После соответствующих преобразований получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов на фоне аддитивного белого гауссовского шума: принимается решение о том, что передан сигнал Sk(t), если

           (2.45)

где сj определяется по формуле   в которой параметр  т.е. равен отношению энергии Еj сигнала Sj(t) на интервале наблюдения к спектральной плотности белого шума.

Для ортогональных сигналов :

2.8. Принцип работы цифровых обнаружителей и различителей сигналов

         Оптимальные алгоритмы обнаружения и различения сигналов, как известно, заключаются в накоплении сигнала за длительность входной реализации, сравнении с порогом и измерении параметров сигнала. Реализация алгоритмов в аналоговой форме имеет существенные недостатки:

¨ Аналоговым накопителям свойственно насыщение, в результате которого уменьшается отношение сигнал/шум при накоплении сигналов.

¨ Результаты накопления изменяются в процессе эксплуатации за счет нестабильности элементов динамической памяти.

¨ Нет возможности полной автоматизации процесса обработки сигналов.

¨ Оценка параметров сигналов в процессе обзора сопровождается ошибками, существенно превышающими потенциальные.

Цифровые алгоритмы квазиоптимальны за счет потерь в отношении сигнал/шум при квантовании смеси по амплитуде и дискретизации по времени. Кроме того, реализация алгоритмов в цифровой форме осуществляется на стандартных элементах вычислительной техники, что упрощает конструкции, снижает вес и габариты, увеличивает надежность.

Описание: page%20222

Рис. 2.6. Цифровая схема обнаружения

На рис. 2.6 дана простейшая схема цифровой схемы обнаружения сигналов. Схема включает квантователь по уровню смеси сигнала с шумом (пороговое устройство 1), дискретизатор по времени, выполненный в виде генератора стандартных импульсов (ГСИ), многоканальную схему измерения дальности, включающую регистр сдвига, вентили совпадений (ВС) и накопители сигналов (НУ), распределитель каналов (коммутатор) и анализатор сигналов.

2.9. Дискретизация и квантование непрерывных сигналов

                   Длительность и период дискретизации выбирают так, чтобы последовательность дискретных значений непрерывного сигнала в течение времени наблюдения позволила восстановить исходный сигнал с заданной точностью.

Вероятность обнаружения смеси Z(t):

                                       (2.46)

Из этого выражения следует, что с увеличением μ увеличивается вероятность обнаружения сигнала и тем больше, чем меньше исходная вероятность Р01.

                   Следовательно, увеличение периода квантования приводит к увеличению вероятности обнаружения сигнала, но при этом уменьшается разрешающая способность и точность измерения дальности. Поэтому период квантования Т0 выбирается из условий получения заданной точности измерения при ограниченной сложности измерительного устройства.

Информация в лекции “4 Режущие многогранные пластины” поможет Вам.

                   Квантование амплитуд сигналов на два уровня означает определение наличия или отсутствия сигнала в дискретном по времени выборочном значении сигнала. На выходе бинарного квантователя появляются 1 и 0 в присутствии сигнала с вероятностью правильного обнаружения

                                             (2.47)

и пропуска сигнала Рп = 1 – Р0, а в отсутствие сигнала с вероятностью ложной тревоги

                                               (2.48)

и правильного необнаружения  Рн = 1 – Рл. Функции Wnc(Z) и Wn(Z) – распределение смеси сигнала с шумом и шума на выходе детектора огибающей.

После логарифмирования отношения правдоподобия ) получаем условие оптимального обнаружения квантованной пачки в виде:

  1. Пропускная способность непрерывного канала

Пусть
сигнал 
 на
выходе канала представляет собой сумму
полезного сигнала 
 и
шума 
,
т.е. 
,
причем 
 и 
 статистически
независимы. Допустим, что канал имеет
ограниченную полосу пропускания
шириной 
.
Тогда в соответствии с теоремой
Котельникова (см. п. 1.5) функции 

 и 
 можно
представить совокупностями отсчетов 

,
и 

,
где 
.
При этом статистические свойства
сигнала 
 можно
описать многомерной ПРВ 
,
а свойства шума – ПРВ 
.

Пропускная
способность непрерывного канала
определяется следующим образом:


,

где    
 –
количество информации о какой-либо
реализации сигнала 
 длительности
T, которое в среднем содержит реализация
сигнала 
 той
же длительности 
,
а максимум ищется по всем возможным
распределениям
.

Когда
сигнал на входе канала имеет нормальное
распределение и отсчеты независимы
величина 
 максимизируется
[6]. Поэтому пропускная способность
гауссовского канала с дискретным
временем, рассчитанная на единицу
времени, с учетом (4.16) может быть записана
в виде


.

(4.17)

Полученное
выражение показывает, что пропускная
способность гауссовского канала с
дискретным временем определяется числом
импульсов, передаваемых в секунду, и
отношением сигнал/шум (
).

С
учетом взаимосвязи скорости передачи
информации и полосы частот непрерывного
канала от (4.17) можно перейти к формуле
Шеннона, которая устанавливает связь
пропускной способности гауссовского
канала с полосой пропускания непрерывного
канала и отношением мощности сигнала
к мощности помехи:


.

(4.18)

График
отношения 
 изображен
на рис. 4.6. Заметим, что при малом
отношении 


,

а
пропускная способность канала связи
прямо пропорциональна этому отношению.

При
большом отношении 
 в
(4.18) можно пренебречь единицей и считать,
что


,

т.е.
зависимость пропускной способности
непрерывного канала от отношения
сигнал/шум логарифмическая.

Пропускная
способность канала, как предельное
значение скорости безошибочной передачи
информации, является одной из основных
характеристик любого канала.

  1. Постановка задачи оптимального различения сигналов; критерии оптимального различения Различение двух детерминированных сигналов

Предположим,
что в наблюдаемой на входе приемника
реализации y(t) может быть один из двух
полезных сигналов S1(t) или S2(t),

y(t) =
S1(t)
+ n(t)    или      y(t) =
S2(t)
+ n(t),         t 
 [0,T].

По
наблюдениям y(t) на интервале времени
[0,T] и имеющейся априорной информации
необходимо принять решение о том, какой
из двух сигналов присутствует в принятом
колебании. Данная задача называется
задачей различения
сигналов
.

Аналогично
задаче обнаружения, задачу различения
можно сформулировать как задачу
оценивания. Представим наблюдаемый
процесс в виде

y(t) = 
S1(t)
+ (1 – 
)S2(t)
+ n(t).

Параметр 
 может
принимать случайным образом одно из
двух значений: 
 =
1 (присутствует сигнал S1(t))
с априорной вероятностью Р1 и 
 =
0 (присутствует сигнал S2(t))
с априорной вероятностью Р0 =
1 – Р1.
Задача различения в этом случае
формулируется как оценка значения
случайной величины q по наблюдениям
реализации y(t) на интервале времени

 [0,T].

В такой
формулировке данная задача ничем не
отличается от задачи обнаружения,
поэтому можно воспользоваться полученными
ранее результатами.

Наиболее распространенными
критериями оптимальности обнаружения
являются следующие:

1.     Критерий
минимума среднего риска


                                
(2.2) 

где
rл и
rп –
«весовые» коэффициенты, выбираемые, исходя
из значимости каждой ошибки.

Величина 
называется
средним риском.

2.     Критерий
минимальной «взвешенной» вероятности
ошибки


                                            
(2.3)

где
a
и b
– весовые коэффициенты.

3.     Критерий
минимума вероятности полной ошибки
(или критерий

идеального
наблюдателя, или критерий Зигерта-Котельникова)


                              
(2.4)

4.     Критерий
Неймана – Пирсона


    
                                         (2.5)

Величиной
Рл задаются,
исходя из физической постановки задачи.
При этом Рп минимизируют.

Если
априорные вероятности Р(а0)
и Р(а1)
неизвестны, что имеет место во многих
случаях, то критерием 
пользоваться
невозможно. В
радиолокации чаще пользуются критерием
Неймана – Пирсона.

  1. Корреляция

    математическая операция, схожа со
    свёрткой, позволяет получить из двух
    сигналов третий. Бывает: автокорреляция
    (автокорреляционная функция), взаимная
    корреляция (взаимнокорреляционная
    функция, кросскорреляционная функция).
    Пример:


 [Взаимная
корреляционная функция]


 [Автокорреляционная
функция]

Корреляция
– это техника обнаружения заранее
известных сигналов на фоне шумов, ещё
называют оптимальной фильтрацией. Хотя
корреляция очень похожа на свёртку, но
вычисляются они по-разному. Области
применения их также различные
(c(t)=a(t)*b(t) – свертка двух функций,
d(t)=a(t)*b(-t) – взаимная корреляция).

Корреляция
– это та же свёртка, только один из
сигналов инвертируется слева направо.
Автокорреляция (автокорреляционная
функция) характеризует степень связи
между сигналом и его сдвинутой на τ
копией. Взаимнокорреляционная функция
характеризует степень связи между 2-мя
разными сигналами.

Свойства
автокорреляционной функции:

  • 1)
    R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.

  • 2)
    Если х(t) – синусоидальная функция
    времени, то её автокорреляционная
    функция – косинусоидальная той же
    частоты. Информация о начальной фазе
    теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A2/2
    * cos(ωτ).

  • 3)
    Функция автокорреляции и спектра
    мощности связаны преобразованием
    Фурье.

  • 4) Если
    х(t) – любая периодическая функция, то
    R(τ) для неё может быть представлена в
    виде суммы автокорреляционных функций
    от постоянной составляющей и от
    синусоидально изменяющейся составляющей.

  • 5)
    Функция R(τ) не несёт никакой информации
    о начальных фазах гармонических
    составляющих сигнала.

  • 6) Для
    случайной функции времени R(τ) быстро
    уменьшается с увеличением τ. Интервал
    времени, после которого R(τ) становится
    равным 0 называется интервалом
    автокорреляции.

  • 7)
    Заданной x(t) соответствует вполне
    определённое R(τ), но для одной и той же
    R(τ) могут соответствовать различные
    функции x(t)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

1) 
В системе связи
все ошибки одинаково нежелательны.

2) 
Чем реже
передается какое-либо сообщение, тем это сообщение является более неожиданным
для получателя. В этой ситуации считается, что пропустить редкое сообщение
очень не желательно.

В соответствии с этим, 2 алгоритма.
Оказывается, что в первом случае, когда все ошибки одинаково нежелательны,
алгоритм обеспечит минимальную полную вероятность ошибки (минимальная
среднестатистическая вероятность ошибки). Второй алгоритм минимизирует
среднеарифметическую вероятность ошибки.

 

Для таких двух матриц риска
существует 2 названия критериев оптимальности:

1) 
Критерий
минимальной средней вероятности ошибки (дальше узнаем, что для этого же
критерия существуют и другие названия, которые важны для профессионалов;
наиболее распространенное название –  критерий максимальной апостериорной
вероятности (MAP-алгоритм)).

2) 
Штраф за ошибку
тем больше, чем реже сообщение передается. Этот критерий обеспечивает
минимальную среднеарифметическую вероятность ошибки. Профессиональное название:
критерий (правило) максимального правдоподобия (критерий максимума отношения
правдоподобия). (Log-MAP)

Алгоритм оптимального приема по
критерию минимума средней вероятности ошибки (
LogMAP, MAP-алгоритмы)

Итак, при простой матрице рисков
получаем следующее правило:

Вычисление апостериорной вероятности:

 –
априорная вероятность передачи символа

 –
условная плотность вероятности (какова вероятность у, если известно, что
произошло событие ).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *